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antecedenti alla u m {x) sono in numero finito e per esse si può trovare un 

 numero ò\ tale che in ogni tratto minore di d tutte oscillino per meno di 

 2a; un ragionamento simile potendosi fare per ogni numero a, ne risulta 

 provata la eguale continuità di tutte : donde la conclusione ben nota che 

 per una successione di funzioni egualmente continue esiste sempre almeno 

 una funzione limite continua. 



3. Se f(x, y) è una funzione continua assolutamente delle x e y in un 

 campo C , e 



3) y x {x) , y 2 (x) 



è una successione di funzioni contenute in esso e aventi per limite la v(x) 

 continua, le corrispondenti 



d' ) f{x , y x {x)) , f(x , y 2 (x) . . . 



avranno per limite la f(x, v(x)), che sarà pure continua. 

 La dimostrazione é immediata. 



4. Se le 



h) y x (x) , y 2 (x) , . . . 



k) z^x) , z 2 (x) , . . . 



sono due successioni aventi i rispettivi limiti continui y(x) e z(x), si avrà 



tj(x) = z{x) 



in ogni punto x, se preso a piccolo a piacere, in ogni tratto di ampiezza 

 qualsiasi d, per n abbastanza grande, si trova sempre qualche punto x, 

 in cui è 



| y n (x) — z n (x) \<a. 



Anche qui la dimostrazione é ovvia. 



5. Col sussidio delle proposizioni qui stabilite la dimostrazione dell'esi- 

 stenza degli integrali in una equazione differenziale ordinaria 



%=*»>* . 



dove f(x, y) significa una funzione continua delle x, y in un campo C, 

 riesce facilissima. 



Si fìssi ivi, a piacere, un punto (x y ) e si costruisca una curva y — y x {x), 

 uscente dal punto (x y ), lungo la quale un estremo oscillatorio sia, sem- 



