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tionen, nämlich sinám, cos am, Aam einige Seiten zu widmen, umsomehr 

 als im Folgenden der Versuch gemacht werden soll, ihre wichtigsten 

 Eigenschaften auf strenge Weise direct durch die Betrachtung des 

 elliptischen Normalintegrals erster Gattung herzuleiten. Hiebei werden 

 natürlich die wichtigsten von Cauchy und Riemann gegebenen Begriffe 

 und Sätze die Theorie der complexen Functionen und insbesondere 

 die zwischen complexen Grenzen genommenen Integrale betreffend, zu 

 Grunde gelegt. 



2. Der complexe Werth zz±oc~-j- iy, unter i die imaginäre Ein- 

 heit V — 1 verstanden, mag, wie üblich, durch jenen Punct einer Ebene 

 vorgestellt werden, dessen rechtwinklige Coordinaten x und y sind; 

 dieser Punct mag kurz der Punct z heissen. Aendert sich z auf 

 stetige Weise, so beschreibt der Punct z einen stetigen Weg. 



Die algebraische Function V(l— z 2 ) (1 — k 2 z' z ) , deren Werth mit 

 A (z) bezeichnet werden mag, besitzt vier Verzweigungspuncte, nämlich 



+ l,zh-7r- Beschreibt z einen von z ausgehenden Weg, der nach 



z zurückführt, so wird A (z) mit demselben Werthe in z anlangen, 

 mit welchem diese Function ausging, wenn der Weg keinen, zwei 

 oder alle vier Verzweigungspuncte einschliesst ; schliesst der Weg 

 einen oder drei der Verzweigungspuncte ein, so wird der Endwerth 

 von A(z) dem Zeichen nach vom Anfangswerth verschieden sein. 



Aendert sich z auf einem von O ausgehenden Wege, der durch 

 keinen der vier Verzweigungspuncte führt, und macht man überdiess 

 im Anfangspuncte A (0) = + 1, so ist der Werth der Wurzelgrösse 

 am Ende z des Weges vollständig bestimmt und mag als der jenem 

 Wege entsprechende Werth A(z) bezeichnet werden. 



Durlauft z einen beliebigen Weg, so beschreibt — z einen zu diesem 

 bezüglich des Nullpunctes symmetrischen Weg; auf solchen symme- 

 trischen Wegen erlangt A(z) offenbar gleiche Werthe, da die unter 

 dem Wurzelzeichen stehende Grösse 



(1-z 2 ) (1-fcV) 

 nur gerade Potenzen von z enthält. Aehnliches gilt offenbar auch von 

 den Functionen Vi— z 3 , Vi — k 2 z*. — Lässt man diese Functionen 

 von Null aus mit dem Werthe -f- 1 ausgehen, so ist klar, dass das 

 Product der Werthe, welche dieselben auf einem beliebigen ven z = 

 ausgehenden Wege erlangen, gleich A (z) ist. In ähnlicher Weise 

 könnte man Vi — z 2 in die Factoren Vi -f- z, Vi— -z und Vi — krz* 

 in Vi 4? k z und Vi — kz zerlegen, immer unter der Voraussetzung, 



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