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von der Form -\-ip" oder — ip 2 , jenachdem z den ersten oder zweiten 

 Weg durchlauft. 



Beschreibt z für's Zweite die imaginäre Axe von O aus in posi- 

 tiver oder negativer Richtung, so ist 2 von der Form iy t daher nimmt 

 A (z) auf beiden Wegeu reelle positive Werthe an, welche von -\- 1 

 bis -f- oo wachsen. 



Es ist gut zu bemerken, das A {z) auf den beiden Axen alle 

 reellen Werthe annimmt. Die Wege von z'== ö nach 1 und von O 

 nach reo erschöpfen alle positiven Werthe von A(z); lässt man 

 demnach z einen Verzweigungspunct z. B. -f- 1 einmal umkreisen und 

 hierauf von O ausgehen, so wird z/(z) den Punct O mit dem Werthe 

 — 1 verlassen und demnach auf den zwei eben erwähnten Wegen 

 nun alle reellen negativen Werthe annehmen. 



4. Wir wollen nun die Werthe betrachten, welche das elliptische 

 Integral erster Gattung 



dz 

 u 



=f 



J(z) 



auf den soeben in Erwägung gezogenen sechs Integrationswegen 

 erlangt. 



Lassen wir die obere Grenze z zuvörderst die positive reelle 

 Axe durchlaufen, indem die Variabele z den Verzweigungspuncten 



"-J- 1 und -(- 7." oberhalb der x-Axe ausweicht. — 



Von 2 = bis 2 = 1 erleidet u durchwegs reelle positive Zu- 

 wächse, ändert sich demnach von w = bis 



r dz 

 u — J A(z) ' 







welcher Werth mit K bezeichnet wird (completes Integral der ersten 

 Gattung) ; K ist somit eine positive Quantität, die von der Grösse des 

 Moduls h abhängt. 



Die Beiträge, welche die an den Verzweigungspuncten vorbei- 

 führenden Ausbiegungen zu dem Integral u liefern, werden unendlich 

 klein, wenn man jene Ausbiegungen unendlich klein annimmt. 



Von 2 = 1 bis -p ist A{z) von der Form — ip 2 , falls die erwähnte 



Ausbiegung am Pimcte 1 oberhalb der a?-Axe verlauft; demnach, 



da — - 7 — =-}-* ^r und da dz reell und positiv ist, erfährt u auf 



jü\Z) ' p- 



