184 



9. Lassen wir für's Zweite die Veränderliche z eine Gerade 

 OA durchlaufen, die zwischen der positiven y-kxc und der ne- 

 gativen Axe der x gezogen ist. Es sei u der stumpfe Winkel XOA. 

 Ist der Werth z durch den auf OA gelegenen Punct M vorgestellt, 

 so wird kz von einem ebenfalls auf OA jedoch näher an O gelegenen 

 Puncte N repräsentirt. Mit Hilfe von M und N construire man 

 hiernach die Puncte 5, B', C, C\ welche die vier Werthe 1 -j- z 

 1—2, 1 -j- kz, 1 ■ — kz repräsentiren. Nennt man wiederum dr 



dz 

 und co den Modul und die Amplitude von —ttt > so ist 



z/(z) 



co — a— i [XOB -f XOB' -f XOC+ XOC' ] . 



Ů 



Die blosse Betrachtung der leicht zu entwerfenden Figur zeigt 

 sofort, dass die in der Klammer stehende Summe der vier Winkel 

 positiv und zwar desto grösser ist, je weiter sich z von Null entfernt ; 

 für z = O ist sie ebenfalls gleich Null. 



Hieraus folgt, dass co vom Werthe a angefangen stetig abnimmt, 

 während sich z von aus auf OA bewegt. Gelangt z in's Unendliche, 

 so wird die Amplitude von 1 -f- z und 1 -f- kz offenbar «, jene von 

 1 — z und 1 — kz aber — (n — «), daher wird co 



co^ — u — [2a— 2 (»- «)] = % — ct. 



.j 



Berücksichtigt man, dass der Modul dr des elliptischen Diffe- 

 rentials ein unendlich Kleines von derselben Ordnung wie mod dz 

 ist, so ergiebt sich, dass der Geraden OA in der Ebene 



= /: 



dz 



J(z) 



u 



eine vom Anfangspunct ö nach dem Puncte iK' gehende Curve OA' 

 entsprechen wird, die in gegen die positive reelle Axe die Neigung 

 «, in iK' hingegen die Neigung ä — cc besitzt. 



Man beweist auf eben die Art, wie es in der vorhergehenden 

 Nummer geschah, dass die den einzelnen Geraden OA so entspre- 

 chenden Curven OA' in derselben Weise auf einander folgen wie 

 jene Geraden, und dass sich je zwei dieser Curven nur in den Punkten 

 und iK' begegnen. 



10. Mit Rücksicht auf den Umstand, dass 

 — « * 



dz r dz 



r dz _ r 

 J Mz~) ~ ~~J i 



j(z) J ziizy 



