186 



Nach Art. 9 folgt ferner, class die nach clen Puncten z = a?-f- iy, 

 wobei x negativ und y positiv ist, auf geraden Wegen genommenen 

 Integralen das von den Ecken o, — ÜT, iK', — K-{-iK< abgegrenzte 

 Rechteck einfach erfüllen werden. 



Berücksichtigt man den zu Anfang dieses Art. hervorgehobenen 

 Umstand, so folgt allgemein, dass die geradlinigen, nach allen oberen 

 Grenzen z zz x -j- iy genommenen Integrale 



Werthe besitzen, welche geometrisch versinnlicht das durch die vier 

 Ecken ±^K+iK' fixirte Rechteck einfach erfüllen d. h. das In- 

 tegral u erlangt jeden in dieses Rechteck fallenden Werth u auf 

 einem geradlinigen Wege ; überdiess sind x und |, so wie y und t\ 

 stets von gleichem Zeichen (die Null als positiv und negativ angesehen). 



In den zwei beigefügten schematischen Figuren sind die z- Werthe 

 und die entsprechenden u- Werthe mit einerlei Buchstaben, letztere 

 jedoch mit einem Accente versehen, bezeichnet. Die complexen Werthe, 

 welche durch die einzelnen Puncte repräsentirt werden, sind in Paran- 

 thesen beigesetzt. 



11. Betrachten wir nun die Werthe, welche das Integral 



=f 



dz 



Již) 



auf beliebigen nach dem Puncte z führenden Integrationswegen erlangt. 

 Führen zwei solche Wege von o nach z und kann man den einen in 

 den anderen durch stetige Umformung überführen, ohne hiebei einen 



der vier Puncte + 1 , + -=- überschreiten zu müssen, so erhält u auf 



beiden Wegen denselben Werth. Hieraus folgt, dass man jeden von 



nach z führenden Weg ohne Änderung des Integralwerthes um- 

 ändern kann in eine gewisse Anzahl von geschlossenen Wegen, 

 welche in o beginnen und endigen und je einen der vier critischen 

 Puncte umkreisen, und in den geraden Weg von o nach z. Betrachten 

 wir nun die einzelnen Elementarwege näher, d. i. die Wege, welche 

 im Nullpuncte beginnen und endigen und je einen der vier Verzwei- 

 gungspunete einschliessen. 



Als ersten Elementarweg bezeichnen wir jenen, der den Punct 



1 einschliesst. Man kann ihn offenbar so beschreiben, dass die 

 Variabele z von o aus die a>Axe bis in die Nähe des Punctes 1 durch- 



