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lauft, hierauf einen aus 1 beschriebenen unendlich kleinen Kreis be- 

 schreibt und auf der x-Axe wiederum nach o zurückkehrt. Auf dem 

 ersten Theil des Weges erlangt u den Werth K , das Kreisintegral 

 ist verschwindend klein — wie man sich leicht überzeugen kann — 

 und da, nachdem z den Verzweigungspunct 1 von 4 (z) umkreiste, diese 

 Wurzel auf der a-Axe mit dem Zeichen Minus ankommt,- so beträgt 

 der nun auf der x- Axe von 1 bis erlangte Integralwerth wiederum K. 

 Es ist demnach 2K der längs des ersten Elementarweges genommene 

 Integralwerth u. 



Ebenso kann man zeigen, dass der zweite Elementarweg, wel- 

 cher den Punct — 1 einschliesst, den Integralwerth — 2K liefert. 



Als dritten Elemeutarweg betrachten wir einen Weg, der in dem 



Anfangspunct beginnt und endigt und den PuncW- einschliesst. Nehmen 



wir fürs Erste an, er umgehe den Punct 1 oberhalb der reellen Axe; 



in diesem Falle besitzt das geradlinige von o nach -j- genommene 



Integral dem Früheren gemäss den Werth K -f- iK\ und da auf dem 

 Eückwege sowohl z/ (z) als auch dz entgegengesetzte Werthe annimmt, 

 so ist der auf dem Elementarwege gewonnene Werth des Integrals 

 offenbar 2K -f 2iK'. — Im Falle, dass die Variabele den Punct 1 



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unterhalb der x-Axe umgeht, beträgt das von o nach -j- erstreckte 



Integral K — iK\ demnach ist 2K — 2iK' der dem ganzen. Wege 

 entsprechende Werth von u. Man kann diesen letzteren Weg auf die 

 vorhergehenden zurückführen, wesshalb wir nur den ersteren als 

 dritten Elementarweg bezeichnen wollen. In der That kann man, wie 

 man sich durch eine Skizze leicht überzeugen kann, den zuletzt be- 

 trachteten Weg ohne Überschreitung eines der critischen Puncte in einen 

 n euen verwandeln, den man erhält, wenn man an den ersten Elementar- 

 weg den dritten anreiht und diesem wiederum den ersten folgen lässt ; 

 der erste Elementarweg liefert als Integral 2Ä", der dritte, da nun 

 /J{z) aus o mit dem Werthe —1 ausgeht, — (2K-\-2iK') und der 

 folgende erste wiederum 2K , somit im Ganzen in der That 2K — 2iK\ 



Als vierter Elementarweg mag der dem dritten bezüglich des 

 Anfangspunctes symmetrische bezeichnet werden; er liefert demnach 

 den Integralwerth — 2üT— 2iK 4 . 



12. Um alle Werthe, deren das von o nach z genommene In- 

 tegral u fähig ist, zu erhalten, müsste man die Variabele z vorerst 

 die vier Elementarwege beliebig oft und in jeder Keihenfolge und 



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