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hierauf den geraden "Weg von o nach z durchlaufen lassen. Hiebei 

 ist zu berücksichtigen, dass die Wurzelgrösse z/(z) nach jedem Ele- 

 nientarwege das Zeichen im Anfangspunkte ändert, also mit + 1 

 anlangt, wenn sie mit + 1 ausgieng. Die den vier Elementarwegen 

 entsprechenden Integralwerthe sind demnach 2-K", — 2/C 2^4-2^', 

 — 2K—2ÍK' oder — 2K, 2K,—2K—2iK\ 2K-\-2iK\ je nachdem 

 d(z) aus o mit dem Werthe -J- 1 oder ■ — 1 ausgeht. 



■ Ist die Zahl aller Elementarwege, welche z beschreibt, eine 

 gerade, so beginnt 4(z) den nun folgenden geradlinigen Weg oz mit 

 dem Werthe -f- 1 ; das so erhaltene geradlinige Integral gehört unter 

 die bereits untersuchten Integralwerthe und mag mit u bezeichnet 

 werden. Ist hingegen die Anzahl der dem geradlinigen Wege vor- 

 angehenden Elementarwege eine ungerade, so liefert das gerad- 

 linige Integral offenbar den Beitrag — u . In beiden Fällen kann 

 der vom Integral auf dem ganzen Wege erlangte Werth u nur von 

 der Form sein 



u zr {i2K-\- v2iK' + w ö , 



wenn (i und v ganze, positive oder negative Zahlen bedeuten. 



Nun liefert jeder Elementarweg zum Integrale u den Beitrag 

 2K oder — 2K\ gesetzt ersteres geschehe p-mal, letzteres g-mal. 

 Est ist dann 



H = p — q. 



Ist die Zahl p -)- q der Elementarwege eine gerade, so hat man 

 u = p2K -\- v2iK' + u ; 

 in diesem Falle ist jedoch auch p — q d. h. n gerade. 



Ist hingegen die Zahl p-\-q der Elementarwege ungerade, so ist 

 u — (i2K~{- v2iK' — u ; 

 dann ist aber auch i*=p — q ungerade. 



Der allgemeinste Integralwerth kann demnach nur von der 

 Form sein 



u = i*2^+ v2iK' + (—1)^ 1 



13. Es kann nun leicht gezeigt werden, dass das Integral u in 

 der That alle Werthe annimmt, welche diese Formel liefert, falls 

 man (i und v alle ganzzahligen, positiven oder negativen Werthe 

 beilegt. 



Sei für's Erste ft gerade, etwa +2m. Ist u das geradlinige 

 von o nach z genommene Integral, so erlangt u in z den Werth 



±2m2üT-|-v2tX / 4- Wo 

 auf folgendem Wege. Man lasse im Falle t tt — -j- 2m, die Variabele 



