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2 den ersten und hierauf den zweiten Elementarweg beschreiben, im 



Falle [i = — 2m jedoch zuerst den zweiten und hierauf den ersten. 



Da jeder Elementarweg das Zeichen von 4(z) ändert, so erhält 



man im ersten Falle den Integralwerth 2K — ( — 22£), im zweiten 



— 2K — (2K) . Nach jedem der beiden Wege langt d (z) in o mit 

 dem Werthe -f-1 an; lässt man demnach z die besagten Wege 

 ■m-nial durchlaufen, so erhält man m4K resp. — mAK als zuge- 

 hörigen Integralwerth. Ist v positiv =="«*, so bilde man einen wei- 

 teren Weg, indem man an den dritten Elementarweg den ersten 

 anreiht, was den Integralwerth 2K-\-2iK'— 2Z = 2iK' ergiebt; ist 

 v negativ = — n , so bilde man einen Gontour aus dem vierten und 

 zweiten Elementarwege, was — 2K — 2iK' — ( — 2K) — — 2iK' er- 

 giebt. Nach jedem der so gebildeten Wege kehrt d(z) mit -f- 1 in 

 den Aufangspunct zurück, eine w-malige Wiederholung dieser Wege 

 ergiebt demnach +n2iK'. Lässt man nun z die Gerade öz durch- 

 laufen, so erhält man schliesslich als Integralwerth längs des ganzen 

 Weges in der That 



±m4:K±zn2iK'-\-u . 



Ist für's Zweite [i ungerade und vorläufig positiv, also (i = 2m -f- 1, 

 so lasse man z den aus dem ersten und zweiten Elementarweg 

 zusammengesetzten Gontour m-nial durchlaufen, was den Integral- 

 werth m4tE ergibt; hierauf beschreibe z den ersten Elementarweg, 

 wodurch 2K hinzukommt und gleichzeitig 4(z) in o mit dem Werthe 



— 1 anlangt. Nun durchlaufe z rc-inal nach einander den vierten und 

 zweiten Elementarweg oder aber den dritten und ersten, je nachdem 

 v gleich ~\-n oder — n ist; im ersteren Falle erhält man als Inte- 

 gralwerth 



- n [ _ 2K — ZiK' - (— 2K)] = n 2iK' , 



im letzteren aber 



— n [ 2K-{- 2iK' —2K] — — n 2iK' . 



In beiden Fällen trifft J(z) am Ende des Weges mit dem Werthe 

 — 1 im Aufangspuncte ein, so dass der nun folgende gerade Weg öz 

 den Werth — u liefert. Im Ganzen ist demnach der Integralwerth 



m4:K-\- 2K±n2iK' — u , 

 d. i. (2m J r l)2K± n2iK' — u , 



wie behauptet wurde. 



Ist (i ungerade und negativ, etwa — (2m -f- 1), so bilde man 

 den ersten Weg aus dem zweiten und ersten Elementarweg, was 



— 2K — (2K) ergiebt, also nach m-maliger Wiederholung —m4/T; 



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