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reiht sich hieran der zweite Elementarweg, so kommt — 2K hinzu 

 und J(z) kehrt mit dem Werthe — 1 in den Anfangspunct zurück. 

 Setzt man nun den Integrationsweg genau so fort, wie im letzten 

 Falle, so folgt als Integralwerth offenbar 



— máK — %K ±_ n2iK J — u v , 

 d. i. — (2m + 1) 2K± n2iK J — u . 



Hält man die Ergebnisse dieses Artikels mit jenem des vorher- 

 gehenden zusammen, so folgt, dass der Ausdruck 



i i2K-{v2iK'-\-{—í)i i 'u ů 

 genau alle Werthe des von o nach z genommenen elliptischen Inte- 

 grals darstellt, falls man [i und v alle ganzzahligen, positiven oder 

 negativen Werthe beilegt. 



14. Man kann sich ein sehr anschauliches Bild aller Integral- 

 werthe % verschaffen, wenn man ausser den geradlinigen Integralen 

 auch jene besonders hervorhebt, die man erhält, indem die Variabele 

 z vorerst den ersten Elementarweg beschreibt und hierauf den geraden 

 Weg oz durchlauft; man erhält auf diesem Wege dem Früheren 

 gemäss den Integralwerth 2K — u . Bedenkt man, dass die Werthe 

 u das durch die Ecken ±K+iK' üxirte Rechteck einfach erfüllen, 

 so sieht man sofort, dass die auf dem letzteren Wege nach allen 

 Werthen z genommenen Integrale 2K — u das von den Ecken 

 K+iK', K—iK\ SK+iK', 3K--ÍK' begrenzte Rechteck einfach 

 erfüllen. Setzt man beide Rechtecke zu einem grossen Rechtecke 

 zusammen, dessen Ecken die Punkte — K-\-iK\ — K — iK\ 3K-\~iK\ 

 3K — iE? sind, so werden je zwei in dieses Rechteck fallende Werthe 

 ul und 2K — u 0) deren Summe 2K ist, welche demnach bezüglich 

 der Mitte K des Rechtecks symmetrisch gelegen sind, derselben 

 oberen Grenze z als Integralwerthe entsprechen, und nur diese zwei 

 im Rechtecke gelegenen Werthe von u können zu einer und derselben 

 Grenze z gehören. In der That soll der allgemeine Wcrth 



u — p2K+ v 2iK' -f (—lfwo 

 in das besagte Rechteck fallen, so muss offenbar mO und ft ent- 

 weder Null oder Eins sein. 



Je nachdem ^ gerade oder ungerade ist, hat w einen der beiden 

 Werthe 



M148T+ v2iK' 4- u ; m4K4- v2iK' 4- 2K— 



Ur, 



Man erhält demnach alle Integralwerthe 



dz 



f: 



