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indem man. zu den Werthen it und 2K—u beliebige ganzzahlige 

 Multipla der Quantitäten AK und 2iK' hinzufügt. 



Theilt man die Ebene u durch Geraden, die parallel zur x und zur 

 y-Axe u. z. in den Abständen 2K' resp. AK gezogen sind, so in Recht- 

 ecke, dass das von den Ecken — K-\-iK\ — K — iK , 3K-\-iK', 

 3K — iK' begrenzte Rechteck mit erhalten wird, so gehören Werthe 

 u , welche in verschiedenen Rechtecken dieselben oder bezüglich ihrer 

 Mittelpuncte symmetrische Stellen einnehmen, als Integral werthe der- 

 selben oberen Grenze z an, und nur solche w-Werthe entsprechen 

 demselben z . 



15. Betrachten wir nun in der Gleichung 



m. 



dz 



4M 



die obere Grenze z als Function des Integral werthe s u , indem wir 

 schreiben 



z ~ sin am u , 

 so folgt dem Früheren gemäss, dass z eine überall einwerthige 

 Function von u ist, welche die Perioden AK und 2iK' besitzt und 

 überdiess der Gleichung genügt 



sin am (2K — v) ~ sin am u . 

 In der That sind die Puncte u und 2K — u , wenn auch in zwei 

 verschiedenen Rechtecken enthalten, doch an Stellen gelegen, die 

 bezüglich der Centra dieser Rechtecke offenbar symmetrisch liegen. 

 Übrigens drückt die Gleichung 



sin am (fi2K -f- v2iK -f- ( — 1) ^Uo) — sin am u ; 

 deren Richtigkeit aus dem Früheren sofort folgt, beide Eigenschaften aus. 

 Man kann nämlich in dieser Gleichung das geradlinige Integral 

 u durch einen beliebigen für die obere Grenze z stattfindenden Inte- 

 gralwerth u ersetzen. In der That, ist 



u x — m2K J r n2iK 4 -f (— l) m u 

 ein beliebiger Werth von w, so bietet der Ausdruck 



[ißK-j- v£iK' + (— Ifhi, 

 genau dieselben Werthe, wie der Ausdruck 



u2K+ v2iK' -j- (— Xfu . 



Denn jener hat den Werth 



|>i -f (— lfhn] 2K-\- [v x -f (— \f* n] 2iK' + (— 1) ^ + m u , 



Durchlaufen ^ und v t alle ganzzahligen Werthe, so gilt 



Gleiches auch von den Coefficienten von 2K und 2iK', welches 



auch die Zahlen m und n sein mögen; überdiess sind die Zahlen 



