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Pa -|- ( — I)** 1 m und fti -j- m immer gleichzeitig gerade oder ungerade. 

 Demnach hat der letzte Ausdruck in der That die Form 

 p2K+v2iK' + (— 1)^. 

 Hieraus ergiebt sich sofort, dass man allgemein hat 

 sin am (p,2K~\- v2iK* -j- ( — 1) f'u) — sin am u , 

 und dass überdiess die in der linken Klammer enthaltenen Werthe 

 die einzigen sind, welchen derselbe Werth von z zugehört wie u . Mit 

 anderen Worten, alle Lösungen v der Gleichung 



sin am v ~ sin am u 

 sind durch die Formel gegeben 



v = ti2K-{- v2iK* + (— 1) tu , 

 worin f* und v positive oder negative ganze Zahlen sind. 



Interessant sind speciell die Gleichungen sin amvz=.o und 

 sin am v z=z oo . Aus der Definition der Function sin am folgt sofort, dass 



sin am o ~ o , sin am iK' — oo ; 

 demnach kann man jene Gleichungen schreiben 



sin am v z=z sin am o ; sin am v ■zz sin am iE? . 

 Ihre Wurzeln v sind somit 



v — y%K-\-v2iK', 



resp. v = ft2^4- v2iK' -f (— 1) HK' — n2K+ (2n + 1) iK' , 

 worin [i , v und n beliebige ganze Zahlen bedeuten. 



Es wäre nun nicht schwer, die als einwerthig erkannte Function 

 sin am u durch den Quotienten zweier unendlichen Producte dar- 

 zustellen. 



16. Erlangt das von o nach z auf einem beliebigen Wege ge- 

 nommene Integral 



dz 



f: 



4(z) 



u 



den Werth u , so ist z — sin am u ; lässt man die Function V^l — z 2 

 aus z — o mit dem Werthe -f- 1 ausgehen, so wird diese Wurzel- 

 grösse auf dem Integrationswege bestimmte Werthe erlangen, und 

 der im Endpuncte z stattfindende Werth derselben, als Function 

 von u aufgefasst, wird mit cos am u bezeichnet. 



Man hat demnach 



cos am wz=.V 1 — sin 1 am u . 



Vor Allem kann gezeigt werden, dass die so definirte Function 

 cos am u für den ganzen Bereich der Variabelen u eine einwerthige 

 Function ist. Da die Function sin am u als einwerthig erkannt wurde, 



