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so braucht nur nachgewiesen zu werden, dass jene Puncte u , für 

 welche die Wurzelgrösse 



vi — sin 2 am u 

 verschwindet oder unendlich gross wird, keine Verzweigungspuncte 

 derselben sind.*) 



Betrachten wir zuvörderst die Werthe u, für welche sin am u 

 =r 1 wird, d. h. da u — K einer derselben ist, die Werthe 

 [i2K-\- v2iK' + (— Vf K. 



Da die Function sinamu die Perioden 4K und 2iK' besitzt, so 

 erlangt sin am u in der Nähe eines beliebigen dieser angeschriebenen 

 Puncte u dieselben Werthe, wie in der Nähe des Punctes -ST, denn 

 mag (i = 2m oder 2m-\~l sein, so sind in der That jene Puncte 

 gegeben durch 



mAK^v^iK'rjrK. 

 Um den Verlauf der Function Vi — sin 2 am u in der Nähe des 

 Punctes u — K zu untersuchen, machen wir 



u = K -f- s , 

 mit s eine sehr kleine complexe Quantität bezeichnet. Aus der Formel 



sin am (2K — u) zz sin am u 

 folgt sofort 



sin am (K-{- £) = sin am (K — £) , 

 d. h.- die nach den Potenzen von £ entwickelte Function sin am (K-\-£) 

 kann nur gerade Potenzen von £ enthalten; demnach ist 

 sin am {K-\- £) — 1 -f- «£ 2 ~j- 6f 4 --J- . . 

 Diess giebt 



cos am (K -f s) = \HP-(1 -f a£ 2 + &£ 4 -f--) 2 , 



P- i- 



cos am (K-\-£)z=£ V— 2a -f- a'e 2 + o'« 4 -f- • ■ • 

 Für sehr kleine Werthe von mod £ ist demnach cosam (uT-j-f) 

 der Grösse £ nahe proportional, somit uzzK kein Verzweigungs- 

 punct der Function cos am u. 



Untersucht man für's Zweite jene Puncte w, für welches^ am u 

 = — 1 ist, d. h. die Werthe 



(i2K + igik» -f (— 1) f^i Z, 

 so braucht man nur die Bemerkung zu machen, dass 



sin am — u zz - — sin am u, 

 um zu erkennen, dass in der Nähe all dieser Puncte das Quadrat 



") S. Briot et Bouquet, 1. c. pag. 105, 



