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Nach Art. 15 sind die Wurzeln v gegeben durch die Formel 

 v = [i2K+ v2iK' -f (— l)*y 

 d. h. durch die beiden Ausdrücke 



v — u -f m4K -f v2iK' ; v — — u -f- (2m -j- 1) %K + v2iK\ 

 mit m und v beliebige ganze Zahlen bezeichnet. 



Das elliptische Integral 



dz 



I 



<*(*) 



erlangt den Werth u auf einem gewissen von o nach z führenden 

 Wege, der mit dem Buchstaben W bezeichnet werden mag. Nimmt 

 man nun das elliptische Integral auf dem in Art. 13 an erster Stelle 

 (/t- + 2m) angegebenen Wege, wobei jedoch der zuletzt auftretende 

 geradlinige Weg durch den Weg W zu ersetzen ist, so erlangt es 

 offenbar den Werth 



m4K-\- v2iK 4 -j- u. 



Lässt man die Wurzelgrösse VT — z 2 aus z — O mit dem 

 Werthe + 1 ausgehen, so erlangt dieselbe im Endpunkte z des be- 

 sagten Weges offenbar den Werth 



cos am (m4K -\~ v2iK' ~\~ u) ; 



würde ma n die V ariabele von o aus nach z auf dem IT-Wege führen, so 

 würde Vi — s 2 in z einfach den Werth cos am u erlangen. Die 

 Wurzelgrösse Vi — z 2 besitzt die Verzweigungspuncte + 1 ; die 

 dem IF-Wege vorhergehenden Elementarwege umkreisen demnach 

 2m -f- v-mal je einen dieser Verzweigungspuncte, d. h. Vi — » 2 tritt 

 den 17- Weg in o mit dem Werthe -\- 1 oder — 1 an, je nachdem v 

 gerade oder ungerade ist. Es erlangt demnach Vi — z 2 in z den- 

 selben Werth wie auf dem 17- Wege, wenn v gerade ist, den ent- 

 gegengesetzten Werth jedoch, wenn v ungerade ist, d. h. es ist 



cos am (m4K-\- v2iK' -f- u) — ( — l) v cos am u . (5) 



Die zweite Gruppe von Wurzeln der Gleichung (3) war 

 v = —u-{-(2m-{-l)2K-\- v2iK'. 



Das elliptische Integral erlangt diesen Werth auf dem vorletzten 

 resp. auf dem letzten der in Art. 13 betrachteten Wege, je nachdem 

 2m -j- 1 positiv oder negativ ist, falls man den geradlinigen Weg 

 oz durch den Weg W ersetzt. Die dem IF-Wege vorhergehenden 

 Elementarwege umkreisen 2m -f- v -)- 1-mal je einen der Puncte+;1, 

 demnach tritt die Function Vi — s 2 den Weg 17 von o aus mit dem 



