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Wérthe + 1 an, je nachdem v -\- 1 gerade oder ungerade ist. Diess 

 giebt sofort 



cos am ((2m + 1) 2K + v 2%K' — u) = (— l) v + * cos am u . (6) 



Um die Wurzeln der Gleichung (4) zu untersuchen, schreiben 

 wir sie in der Form 



sin am v zz sin am — u ; 

 diess giebt 



v — m\K -\- v2iK* — u ; 

 v — (2m -f 1)2K -\- v2iK' -|- u. 

 Für die erste Gruppe liefert die Formel (5) 



cos am (m4:E ~\- v2iK / — u) zz ( — l) v cos am — w, 

 für die zweite hingegen (6) 



cos am ((2m -\-\) 2K-\- v2iK' ~\- u) zz ( — l) v + 1 cos am — w, 

 oder aber da die Function cos am u zz V\ — sin 2 am u offenbar eine 

 gerade Function ist. 



cos am (máK -}- v 2iK' — u) — ( — l) v cos am u, (7) 



cos am ((2m -}- 1) 2E -\- v2iE' -\- w) = (—l) v + * cos am u. (8) 



Da alle Wurzeln der Gleichung 



cos am v — cos am u 

 unter den Argumenten enthalten sein müssen, welche in die linken 

 Seiten der Gleichungen (5), (6), (7), (8) eingehen, so braucht man 

 nur in (5) und (7) v gerade, in (6) und (8) aber ungerade zu nehmen, 

 um die proponirte Gleichung (1) allgemein zu lösen. Diess giebt die 

 Lösungen 



v — mAR + nUK' -f- u ; (50 



v - (2m -f 1) 2K + (2n + 1) %K' — u ; (&) 



v '■=- mAK -f- nAiKf — u\ (70 



v p (2m 4-1)2^+ (2n 4- 1) 2iK' + u. (8'). 



Alle sind in der Formel enthalten 



v = ± u + V^ K + o2iK% 

 worin p und o; gleichzeitig zwei gerade oder ungerade ganzzahlige 

 Werthe bedeuten. Demnach sind alle Wurzeln der Gleichung 



cos am v zz cos am u 

 gegeben durch 



* = ± w + r2K 4- (tf 4- 2s) 2iX / , (9) 



mit r und s beliebige ganze Zahlen bezeichnet. 



18. Aus den Gleichungen (50 und (70 folgt, dass die Function 

 cos am u die Perioden AK und MK' besitzt. Mit Rücksicht darauf 

 liefert (6') und (80 i 



