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cos am (2K -\~ 2iK' ± u) — cos am u, 

 d. h. cos am u besitzt die Periode 2K -\~ 2iK'. Das System der 

 Perioden 42T, UK' kann offenbar aus dem Systeme 42T, 2K-\-2iK' 

 zusammengesetzt werden, da ja 



— 4iK' = 4:K—2(2K-\- 2iK i ). 

 Die Gleichungen (5), (6), (7), (8) können nun ersetzt werden durch 

 die einfacheren Gleichungen 



cos am — u — cos am u ; 



cos am (4K -|- w) — cos am u ; 



cos am (2K -f- 2%K' -f- u) = cos am u ; (10) 



cos am (2iK* -\-u)~ — cos am u ; 



cos am (2K -\-u) z~ — cos am u. 

 Die Weise, wie diese Gleichungen abgeleitet wurden, zeigt 

 überdiess, dass cos am u keine von den Perioden 4,K und 2K -f- 2iK 4 

 wesentlich verschiedenen Perioden besitzt. 



19. Um den Verlauf der Function cos am u näher kennen zu 

 lernen, setzen wir 



dz 



/az 

 V(l — z 2 Ül — 



'(1 — z 2 ) (1 — kW) ' 



demnach cos am u =. Vi — z 1 . 



Wächst u von bis K durch reelle, von K bis K-\-iK' durch 

 rein imaginäre, von K-\-iK 4 bis %K' wiederum durch reelle Zuwächse, 



so ist z reell und zwar ändert es sich von bis 1, von 1 bis -r-, von 

 — t — bis co ; hiebei hat man z die Puncte 1 und — r — oberhalb 



der reellen Axe umgehen zu lassen. Demgemäss ist Vi — z 2 auf 

 der ersten Strecke reell und positiv, auf der zweiten und dritten aber 

 rein imaginär u. z. von der Form — -ip 2 . Man schliesst insbesondere, 

 dass 



cos am o zz 1 ; cos amK=z V~\— k 2 ; cos am (K -\-iK') =z — i V p- — 1 ; 



cos am iK' — co. 

 Lässt man z beim Puncte 1 unterhalb der reellen Axe abbiegen, 



so erlangt u in —=— den Werth K — iK\ Vi — z 2 aber einen Werth 



von der Form -\-ip 2 \ somit 



