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20. Erlangt das elliptische Integral 



dz 



X: 



*Ö0 



auf einem von o nach z führenden Wege W den Werth w, so wird 



der Werth, den Vi ■ — kh 2 auf demselben Wege erhält, mit z/ amu 

 bezeichnet, vorausgesetzt, dass die Wurzel Vi — k 2 z 2 aus z = o mit 

 mit dem Werthe -|- 1 ausgeht. 



Vor allem wäre es nicht schwer, die Einwerthigkeit der so defi- 

 nirten Function z/ amu lür alle Werthe von u genau so darzuthun, 

 wie es für die Function cos am u geschah. 



Die Periodicität der Function z/ am u übersieht man sehr genau 

 wenn man die Gleichung auflöst 



/Jam v — z/ am u. (11) 



Da zn sin am w, so ist damit,— Vi — k 2 sin 2 am u ; somit sind 

 die Wurzeln v der gegebenen Gleichung nothwendig alle unter den 

 Wurzeln der Gleichungen 



sin am v — sin am w, (12) 



sin am v — — sin amu (13) 



enthalten. Die Wurzeln von (12) sind 



v — mAK -f- v Í%Ě + u; v~ (2m -f 1) 2iT -f v2iK' — u, 



Den ersteren Werth v erlangt dass elliptische Integral auf einem 

 Wege, der in Art. 13 an erster Stelle (^t = ± 2m) angegeben wurde, 

 falls man nur den an der angegebenen Stelle zuletzt durchlaufenen 

 geradlinigen Weg durch den Weg W ersetzt; dieser Integrationsweg 



umkreist v-mal je einen der Verzweigungspuncte ± -=- der Function 



Vi — k 2 z l . Diese Wurzelgrösse tritt demnach den TF-Weg mit dem 

 Werthe -f- 1 oder — 1 an, jenachdem v gerade oder ungerade ist. 

 Man hat somit 



z/ am (m4K + v2iK' -\-u) — (~\) v Aamu. (14) 



Durch Betrachtung der beiden anderen in Art. 13 angegebenen 

 Wege, in denen der geradlinige durch den IT-Weg zu ersetzen ist, 

 folgt ebenso die Gleichung 



Jam (2m -f 1) 2K-{- v2iK 4 — u) = ( — ■ l) v Jam u . (15) 

 Die Lösungen 



v — mAK -j- v2iK' — n\ v = (2m + ißK -f v%iK' + u 

 der Gleichung (13) geben nun, gestützt auf (14) und (15) und unter 

 Berücksichtigung des Umstandes, dass d amu — V 1 — k 2 sin 2 am u 

 eine gerade Function von u ist, 



