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Aufgabe gestellt werden, alle Fälle anzugeben, in denen es gelingt 

 eine Fläche dadurch auf einer anderen conform d. h. unter der Be- 

 dingung der Gleichheit der Winkelgrössen von Bild und Original, 

 abzubilden, dass man die eine Fläche auf die andere central projicirt, 

 demnach jene Puncte als entsprechende bezeichnet, die mit einem 

 festen Puncte (Projectionscentrum) in einer Geraden liegen. 



Man wähle diesen festen Punct O zum Anfangspunct eines recht- 

 winkligen Coordinatensystems. Es seien sc, y, z die Coordinaten eines 

 beliebigen Punctes der einen Fläche, X, Y, Z die Coordinaten des 

 ihm entsprechenden Punctes der anderen Fläche. Da die Verbindungs- 

 linie beider Puncte durch O geht, so hat man 



Xzzfix, Y=(iy, Z=(iz, 

 und somit 



dX — ft dx -}- x dfi , 



dY=z(idy-\-ydii, 



dZ — [i dz ~\- z dp . 

 Hieraus 

 dX 2 -f dY* -f dZ 2 — ft 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) -f 2(id[i {xdx-\-ijdy + zdz) 



+ ^(^ + r + 2 2 ). (i) 



Nach der zuerst von Gauss gegebenen Lösung des Problems 

 der conformen Abbildung der Flächen x ) , ist es für eine solche 

 Abbildung nothwendig und hinreichend, dass die Quadratsumme 

 dX* -\- dY 2 + dZ 2 allemal verschwinde, sobald dx 2 -\- dy 2 -{- dz 2 gleich 

 Null wird. Mit Rücksicht auf (1) ergiebt sich, dass man auf den (ima- 

 ginären) Curven, die durch die Differentialgleichung 



dx 2 + dy* + dz 2 = (2) 



auf der ersten Fläche bestimmt sind, haben müsse 



2fi d(i (xdx -f ydy -|- zdz) -|- dp 2 (sc 3 -f- y 2 -f z 2 ) = O . (3) 

 Dieser Gleichung, somit auch dem Probleme wird durch 



li =: const. 

 genügt. Unter dieser Annahme verknüpfen die Gleichungen 



X=z[ix, Yz=z(iy, Z—pz 

 entsprechende Puncte zweier ähnlichen Flächen 



/( W ) = o, /(|,Z,|) = o. 



l ) Allgemeine Auflösung der Aufgabe : Die Theile einer gegebenen Fläche auf 

 einer anderen gegebenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem 

 Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird. (Preisfr. der kgl. Soc. 

 d. Wiss. in Copenhagen für 1822.) 



