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Sieht man von dieser Lösung ab, ist also du von Null verschie- 

 den, so kann man (3) schreiben 



2u (x dx-\-ydy-\-z dz) -f- dp {x 1 -f- y 2 -j- z 2 ) = O . (4) 



Diese Gleichung soll für alle Differentiale dx, dy, dz Geltung haben, 

 die (2) genügen; man kann hieraus folgern, dass (4) für jede Ver- 

 rückung dx, dy, dz auf der Fläche gilt. In der That, ist 



dz — p dx -j- q dy , 

 so ergiebt sich aus dieser und aus der Gleichung (2) dy und dz in 

 der Form 



dy — (a -j- iß) dx ; dz zz: (p -\- qa -\-iqß) dx, (5) 



wenn gesetzt wird 



Betrachtet man u als Function von x, y und bezeichnet die partiellen 



Derivationen derselben durch — — — , *! , so ist 



Zx 2y 



du — ^ dx -I J— dy . 



r dx r 3y * 



Diess und (5) in (4) eingesetzt giebt 



2u[x + (cc+iß)y+(p-\ r qa~\-iqß)z] + 



Trennt man das Reelle vom Imaginären, so folgen die Gleichungen 

 2u[x + ay + (p + qa)z] + (x* + y* + z*)[^J r a-^]=0, 



2u(ßy + qßz)-\-(x*+y* + z*)ß^-=:0. 

 Weil ß von Null verschieden ist, so giebt die letzte Beziehung 



2a (y + qz) + ( ? Vf £ + *) -|- = O , (6) 



wodurch die vorhergehende übergeht in 



2u (a +pz) + 0* + y * + *») -|L_ = O . (7) 



Die Gleichungen (6) und (7) kann man offenbar schreiben 



^-[ fi (^ + r + ^)] = o, 



D 



demnach muss 



[>(«■ + *» + •>)] =0, 



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