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die bemerkenswerthe Relation 



(70) 2 = 35-69 = 56 2 — 28* -f- 8 2 — 1 . 

 Und aus Formel (3) erhält man, wenn für n der Reihe nach 

 1, 2, 3, . . . , n gesetzt wird, 



m\% = i 



[(4) 2 ] 2 = i;(-i)^(2) 2 2 _, 



k — l 



[(2w) B ] 2 -27(-t)*+»V-*, 



k — l 



daher wenn beiderseits die Summe genommen wird, 



£[(2k) k ] t = £ 27(-l)*+i(Ä)V^ 



oder wenn man rechter Hand in die Elemente auflöst und die posi- 

 tiven und negativen Glieder gleichen Ranges zusammenzieht, 



i-[(2%] 2 = Z[(2Ä;),_ 1 ]- - £[(2Ä;)*-2] 2 + i[(2k)] k _ s y - . . . ± 1 , 



»±.1 k — 1 k — 2 k — 3 



oder wenn wir rechter Hand die Summe symbolisch ausdrücken, 

 | K2ÄU, =; 2? JT- lV+i j X [(2%_,-r I , (4) 



kzz\ r — 1 ( *=r ' 



wodurch wieder eine neue Eigenschaft der binomischen Coěfficienten 

 ausgedrückt erscheint. 



Stellen wir daher aus den Coěfficienten der geraden Potenzen 

 Tartaglia's „Triangulum arithmeticum" her, so erhalten wir, wenn 

 man beispielweise nur bis zur zehnten Potenz geht, 



1 

 2 

 6 



20 



70 



252 



nach obiger Formel (4) die eigenthümliche Relation 

 fl) 2 +(2) 2 +(6) 2 +(20) 2 +(70) 2 -f(252) 2 = 1 2 + 4 2 +15 2 + 56 2 +210 2 



—V— 6 2 — 48 2 — 120 2 

 -f l s + 8 2 +45 2 

 — I 2 — 10 2 



+1 2 , 

 was auch durch gewöhnliche Ausrechnung sich bestätiget. 









1 







1 



4 





1 



6 



15 



1 



8 



28 



56 



10 



45 



120 



210 



