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Aus diesen Sätzen ergibt sich nun 



a) das Verhältniss der Subdeterininanten des ursprünglichen Sy- 

 stems (1) zu den komplementären Subdeterminanten des bei- 

 geordneten Systems (2); 



b) der Satz, dass jede Sub determinante des beigeordneten Systems (2) 

 theilbar ist durch die komplementäre Subdeterminante des Haupt- 

 systems (1); 



c) das besonders hervorzuhebende Theorem, dass wenn irgend eine 

 Subdeterminante des ursprünglichen Systems (1) den Werth 

 besitzt, auch die komplementäre Subdeterminante des beigeord- 

 neten Systems den Werth erhält. 



Eine ganze Reihe der interessantesten Anwendungen bietet ins- 

 besondere die letzte Formel des Systems (3), wenn wir ihr die Ge- 

 stalt geben 



^(«22 «33 ••• a«-i|H-i) — (An A lt ). (4) 



Zunächst ist daraus zu entnehmen, dass diese Formel sich sehr 

 gut zur Berechnung des Werthes der Determinante A eignet, indem 

 sich daraus unmittelbar ergibt. 



a -"ran ^u -"i« -"hi /e\ 



(a 22 ö& 33 . . . «„—iifl—i) 

 Beachten wir nämlich, dass die einfachste Auswerthung von A 

 dadurch geschieht, dass man diese Determinante zuerst in die Summe 



A — a u A lL -f a 12 A l2 -|~ . . . -f a in A 1>t 

 auflöst, die n Subdeterminanten (n — l)ten Grades, nämlich 



A\\ j -«12 > • • • 5 A in 

 berechnet, diese dann mit den zugehörigen Elementenwerthen 



#11 ' «12 J • ♦ • 5 «1» 



multiplicirt und die so erhaltenen Produkte endlich addirt, während 

 nach Formel (5) nur vier Subdeterminanten (n — l)ten Grades, nämlich 



■"11» -"inj "ni j *±nn 



und eine Subdeterminante (n — 2)ten Grades nämlich 



(#22 #33 • • • #«— l|n— l) 



zu berechnen ist, so sehen wir unmittelbar, dass unter Anwendung 

 unserer Formel (5) im Allgemeinen (n — 5) Auswerťhungen von Deter- 

 minanten (n — l)ten Grades erspart werden. 



Und selbst in den Fällen, wo die Determinante (1) vom dritten 

 oder vierten Grade ist, liefert diese Berechnungsweise gewisse Vor- 

 theile, die nicht zu unterschätzen sind. So erhält man bei der Deter- 

 minante dritten Grades das Schema 



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