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Vergleicht man also die Formeln (6) und (7) mit (12) und (13), 

 so sieht man unmittelbar, dass die nte Derivation der Sekante gleich 

 ist dem Produkt aus der Sekante und der Subdeterminante, die zum 

 ersten Elemente derjenigen Derivations-Detenninante komplementär 

 ist, welche die wte Derivation der Tangente ausdrückt. 



Und ganz analog ist das Verhältnis zwischen der wten Deri- 

 vation der Cotangente und Cosecante, wie aus den folgenden zwei 

 Formeln ersichtlich ist. 



Für ein gerades n ist nämlich 



d n cosec x 

 ďx» 



= ( — l) n cosec x 



cot , 



1 



, o 



-1 , 



2cot 



, 1 



— cot 



— 3 



, 3coi 



: 1 , + (») t cot , zp 

 während für ein ungerades n erhalten wird 



cot , 1 , O 



(») 8 i • 



ncot 



,(14) 



d n cosec x 

 ďšď 1 



= ( — l) n cosec x 



— 1 



— cot 



2cot 

 — 3 



1 



3cot 



+ cot , + (w) 1 , -f- (n\ cot , 



n cot 



(15) 



Hiemit erscheint die Theorie der höheren DifferentLúquotienten 

 der einfachen Funktionen abgeschlossen und ist zugleich die leichte 

 Anwendbarkeit des Maclaurinschen Theorems auf die entsprechenden 

 Reihenentwickelungen ersichtlich. 



Man erhält z. B., wenn in der Determinante (6) xzzzO gesetzt 

 wird, zunächst 



o , -i, o , o , ;..; o 



1,0, —1, o , ..., o 



O , 1 , 0,-1, ..., o 



-1, 0,3, O , ..., O 



^n = 



O , + 1 , O , ± (n\ , . . , 

 und daher nach dem angeführtem Theorem sofort 



00 r/kik 1 







(16) 



** = £0*=I)T 



(17) 



Ebenso liesse sich die Reihe für secx darstellen, wenn man in 

 Formel (12) x — setzt und die Bezeichnung einführt 



