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Si p es raíz primitiva de p n ó de 2p", también -~ k es raíz primitiva 

 de p n ó de 2p n , siempre que k sea primo con '¿(/> n ). En otros tér- 

 minos, si p pertenece al exponente &(/>«) ó a{2p n ) , también p* per- 

 tenece al mismo exponente si <?(/>") ó &(2p") y k son números 

 primos entre sí. 



8. Se ha demostrado de varios modos (*) que el grupo / de un 

 grupo cíclico G es siempre abeliano, y puede venir representado 

 como un grupo regular de substituciones cuyos elementos corres- 

 ponden á las operaciones de orden más elevado de G, y que G 

 contiene un subgrupo cíclico de orden p n ~\ si p es un número 

 primo impar, y de orden 2 n ~ 2 , si p = 2; pero también se sabe que 

 no todo grupo abeliano es grupo de automorfismos de algún gru- 

 po cíclico. 



Un grupo abeliano que sea grupo de antomorñsmos de un gru- 

 po cíclico, es decir, que pueda representarse como hemos repre- 

 sentado el grupo íi, de orden ;«, de los -¿(g) números enteros pri- 

 mos con g y menores que g (5), pertenece á una clase particular 

 de grupos que cumplen ciertas condiciones (**). 



Si tal grupo es cíclico, y n es un número entero cualquiera, 

 positivo ó nulo, su orden g debe ser de la forma p n (p — 1), y como 

 los dos números pares más pequeños que no son de esta forma 

 son los números 2 . 5 y 2 . 6, estos son los dos números pares más 

 pequeños que no pueden tomarse para representar el orden de un 

 grupo cíclico que sea grupo de automorfismos de otros grupos. 



Si g =2" II (p"'), siendo los números p. todos diferentes, sien- 

 do G en este caso el producto directo de los subgrupos cuyos 

 órdenes respectivos son los factores de g, y siendo también cícli- 

 co el grupo I de todo grupo cíclico cuyo orden es potencia de un 

 número p; ü es el producto directo (***) de los grupos cíclicos 



cuyos órdenes son <?(A'"), y(p™" 2 ), , respectivamente, cuando 



sea n = 0, ó n = 1, pero se debe tener en cuenta además, entre 

 estos grupos factores, un grupo de segundo orden y un grupo 

 cíclico de orden 2 n ~ 2 , cuando sea n ]> 1. 



Siendo íí el producto directo de varios grupos cuyos órdenes 

 son todos números pares, m es par, y será por tanto un número 

 de la forma 2" . II (p" ¿ ) . II (p ¿ — 1 ); los números pares más peque- 

 ños que no pueden ponerse bajo esta forma son los números 2 . 7 y 

 2 . 13 (****), luego estos dos números representan los más pequeños 

 órdenes de grupos que no pueden ser grupos de automorfismos de 

 grupos cíclicos. 



(*) WEBEH.— Lehrbuch der Algebra, 1893, vol. II, p. tífl. 

 (") G A. MlLLER.— Annah of Malli., VOl. II, p. IR. 

 i"") G. A. MlLLER. -Bull. ofAmer. Math. 8oc, VOl. V, p, 29U. 

 (««*«) LUC/ÍS —Théorie des nombres, 1891, p. 394 



