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po ¡1, 7¡j por el subgrupo constituyen los demás generadores inde- 

 pendientes, y que es de orden 2 n ~ 1 . Luego r, es factor de una 

 mitad de las operaciones que entran en H, y por esto, si n ^> 1, no 

 debe entrar en el producto continuo de todas las operaciones 

 de H. Por lo tanto, si G contiene más de una operación de segun- 

 do orden, el producto continuo de todas sus operaciones es la 

 identidad, y si al contrario sólo contiene una, ésta misma es el 

 producto continuo de todas sus operaciones. 



Si el grupo G es cíclico, y g = p n , (u ^> 1), su grupo de auto- 

 morfismos / es el producto directo del grupo cíclico de orden p"— 1 

 por el grupo de automorfismos del grupo de orden/); luego el gru- 

 po / del grupo G de orden/)", y por lo tanto también el del de 

 orden 2p n , contiene una sola operación de segundo orden. Pero se 

 sabe que el grupo / del grupo cíclico de orden 2 n contiene tres 

 operaciones de segundo orden si n ]>2; luego cuando contenga una 

 sola operación de segundo orden, debe ser n = 2. 



Si g = 2 M II (pl' 1 ), el grupo I de G es el grupo de automorfis- 

 mos de los grupos cíclicos cuyos órdenes respectivos son los nú- 

 meros 2", /)["', Pi" 1 , ; y puesto que el orden de cada uno de 



tales grupos de automorfismos es un número par, excepto el del 

 grupo de orden 2", si u ]> 1; por esto I debe contener más de una 

 operación de segundo orden, excepto en los casos en que el orden 

 del grupo G venga representado por alguno de los números 2\ p n , 

 2p n . Luego, si el grupo / del grupo G de orden g, contiene una 

 sola operación de segundo orden, g ha de ser uno de estos tres 

 números. 



El recíproco se deduce muy fácilmente, recordando que la con- 

 dición necesaria y suficiente para que el grupo de automorfis- 

 mos I de un grupo cíclico G de orden g sea también cíclico, es 

 que g posea raíces primitivas; y recíprocamente. Pero como se 

 sabe (*) que respecto del módulo compuesto g = 2 n II {p^), no pue- 

 de haber raíces primitivas, sino cuando g es potencia de un núme- 

 ro primo impar, ó el duplo de tal potencia, ó el número 4; así en el 

 caso en cuestión, el grupo / es cíclico, sólo cuando g tiene uno de 

 los valores 2 i , p n , 2p". 



También, si # = 2", respecto del módulo 2", todo número im- 

 par es raíz primitiva de 2, si n = 1; el número 3 es raíz primiti- 

 va de 4, si n = 2; pero si n 5^ 3, no hay raíces primitivas, es decir 

 que G no puede ser grupo cíclico. 



Evidentemente en p hay ¿(/) — 1) raíces primitivas; y en p" 

 hay 



f[í (P n )] = «(> ~ 1) ■ ^(P n - 1 )-- 



{*) P. Gazzanjga.— Op. cit. p. 84.=Eui.ügio Jiménez, loe. cü. pág 1 . 190. 



