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 dos números primos impares y diferentes, se tiene 



P\ — í vi — i 



(2) r (£)<-—- 



es decir (ley de reciprocidad de Legendre), que si de los dos nú- 

 meros ^>, y p. 2 uno por lo menos es de la forma \n + 1, el número 

 p 2 es ó no es resto cuadrático de p t , según que />, sea ó no sea resto 

 cuadrático de p. ¿ ; mientras que si los dos números p K y p. 2 son 

 ambos de la forma 4« + 3, el p. 2 es ó no es resto cuadrático de p u 

 según que p t no sea ó sea resto cuadrático de^>. 2 . 



Supongamos que los dos números p¡ y p 2 son los factores de 

 orden g del grupo cíclico G, es decir que^ = p"' p. 2 n ~. Si nos re- 

 presentamos este grupo como un grupo intransitivo de substitu- 

 ciones, de grado p"' + p"' 2 , su grupo de automorfismos /, es el 

 producto directo de dos grupos cíclicos cuyos órdenes respectivos 

 son ■j'ipi"'') y ?(A/ 2 )> Y puede venir representado como un grupo 

 intransitivo de substituciones que contiene dos sistemas de intran- 

 sitividad de grados ®[p" 1 ) y ffp/ 2 ) respectivamente. A todo ele- 

 mento de 1 podemos suponer asociado el exponente (mód />, 'p. 2 ~' 

 de la potencia en que esta substitución transforma todas las ope- 

 raciones de G, y entonces la substitución que corresponde al valor 



x ^ePi + Ps (mód p^pr J 



es positiva, á no ser que p¡ y p. 2 sean ambos de la forma 4// -\- 3. 

 Evidentemente, las substituciones positivas de / corresponden á 

 los números que son restos cuadráticos de p¡ y de p.,, ó que no lo 

 lo son, ni de p v ni de p. 2 ; mientras que las negativas corresponden 

 á los números que sólo son restos cuadráticos de p v ó sólo de p 2 . 



Son, por ejemplo (*), substituciones negativas, las que corres- 

 ponden á los números 2, 3, 5, 6, 7, ya que: 



2esrestodep!= 8w-f-(li 7) y no lo es de p. 2 —Bn +(3,5); 

 3. . . . p 1 = 12«-f-(l. 11) /> 2 =12/H-(5, 7); 



5. . . . J p 1 =20*+(1,9, 11,19) . ■ ¿> 2 =20k+(3, 7, 13, 17); 



6. . . . A=24w+(1,5, 19,23) . . /> a =24»-h(7, 11, 13, 17); 



7. . . . p l =28»+(l I 3, 9, 19,25,27). /»j=28«+(5, 11, 13,15, 17,23). 



7. Las operaciones de segundo orden del grupo abeliano G 

 engendran, como es sabido, un grupo H de orden 2", en el cual 

 hay n generadores independientes de segundo orden. Sea r¡ uno 

 de estos generadores; entonces H'es el producto directo del gru- 



C) P. Gazzaniua.— Op. cii. pág. 97.=Ei;logio Jiménez, loe cit. págs. 294 y 322. 



