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cir que los números x que corresponden á las operaciones del sub- 

 grupo de orden p — 1, tienen el mismo gausiano respecto del mó- 

 dulo p'\ ó sea, que si .r'es una raíz emésima propia respecto del 

 módulo p, lo es también respecto del módulo ^> re ; y puesto que I es 

 un grupo cíclico, el número de tales raíces debe ser el mismo res- 

 pecto de entrambos módulos. 



Demostraremos ahora, en particular, que un resto cuadrático 

 de p lo es también de cualquier potencia p n de p, y recíproca- 

 mente. 



A toda substitución del grupo de automorfismos del grupo cí- 

 clico G de orden g = p, puede asociarse un número que, respecto 

 del módulo p, es congruente con el exponente de las potencias en 

 que tal substitución transforma todas las operaciones de G. El 

 complexo de tales números constituye un isomorfismo holoédrico 

 con /. Si x es uno de tales números, la substitución correspondien- 

 te es positiva ó negativa (par ó impar), según que el carácter cua- 

 drático de .v respecto del módulo p, que se expresa por el símbolo 

 de Legendre, 



x\ p — 



-j = x • (mód¿>), 



sea + 1 ó — .1 . es decir (*), según que x sea resto ó norresto cua- 

 drático del módulo p. Esto se extiende también al caso en que 

 g = p>t; si asociamos á las substituciones del grupo cíclico de 

 orden ¡p {p n ) los exponentes (mód p n ) de las potencias en que tales 

 substituciones transforman las operaciones del grupo G, toda 

 substitución es positiva ó negativa, según que (x/p») sea -f- 1 ó — 1 . 

 Pero se sabe que todo número^) primo impar posee (p — l)/2 res- 

 tos cuadráticos positivos menores que p, por lo que de los núme- 

 ros naturales menores que p, la mitad son restos cuadráticos 

 de p, y la otra mitad no lo son; y por lo que hemos dicho antes, la 

 mitad de los primeros &(p n ) números primos con p son restos cua- 

 dráticos de p n . Así, pues, todo resto cuadrático de p, lo es también 

 de p'\ y recíprocamente. En otros términos, los <i¡(p n ) números en- 

 teros menores que p n y primos con p, ordenados arbitrariamente, 

 :y multiplicados por un número cualquiera x primo con p, dan 

 productos cuya disposición respecto del módulo p H representa una 

 substitución de grado &(/>"), que es positiva ó negativa, según que 

 el carácter cuadrático de x respecto del módulo p sea + 1 ó — 1. 

 Se demuestra en la teoría de los números (**) que si/», yp» son 



(*) P. L. Tchebichef, trad. por J. MaSSARINL— Teoría delle congruente, 1895, p. 62.= 

 Eulogio Jiménez, loe. cii. pág. 125. 



(**) P. Gazzaniga. —Gli elementi della teoría dei numeri, Padova, 1903, p. 98.— P. L. TCHE- 

 BICHEF, loe. cit. p. 81.— Eulogio Jiménez, loe. cit. pág. 293 



