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y puesto que cuando un elemento transforma una operación del 

 grupo en una potencia dada, transforma en las potencias de igual 

 exponente todas las restantes operaciones del grupo, puede obte- 

 nerse dicho automorfismo haciendo corresponder á cada opera- 

 ción su potencia de exponente k. Un automorfismo de G equivale, 

 le, pues, á una substitución tal como 



r = (/«.) {m6dg) > 



a i' 



y por cada substitución de esta clase, se tiene un automorfismo 

 de G. El complexo de estas substituciones constituye, de este 

 modo, el grupo / de los automorfismos de G, y es ho'.omorfo con 

 el grupo j« tI a. 2 , .. . a \ de orden m, que hemos llamado Q. Por 

 consiguiente, el grupo cíclico Q, cuyos elementos son los -¿(g) nú- 

 meros enteros menores que g y primos con g (2), es grupo de 

 automorfismos del grupo cíclico G de orden g (*). El factor má- 

 ximo de m no puede ser mayor, evidentemente, que el factor má- 

 ximo de g. 



Si g = p", siendo p un número primo cualquiera, como entonces 

 ■jf(p n ) = pn—í (p — i) j el grupo Q es de orden 2 n ~ 1 si p = 2, y en 

 otro caso es el producto directo de dos subgrupos cíclicos de órde- 

 nes /)» — ! y p — 1, respectivamente, y el primero de estos subgru- 

 pos comprende todas las operaciones de I que transforman las 

 operaciones de G en potencias cuyos exponentes son congruentes 

 con la unidad (**) respecto del módulo p. En otros términos, si nos 

 representamos / como un grupo numérico respecto del módulo p", 

 los números correspondientes á su subgrupo de orden p — 1 son 

 los números 9-., menores que p n , y tales que 



8-.= 1 (mód. />), 



y, siendo 3 un número entero positivo, 



»/ = 1 í mód. p' J H 



Luego, todo número x que satisface la congruencia 



x = 1 ('mód p rj ), 



es respecto del módulo p H , siendo n arbitrario, potencia p r ' de 

 algún otro número. 



Los o(g) elementos de la serie (<?) forman un grupo relativo 

 á la multiplicación, si en vez de los productos se toman sus restos 



(*) G. A. MlLLER. —Annals o f Ma ¡hematíes, VOl. II. pág. 78. 



{*') G. A. MlLLEK.— Bull. ofAmer. Maht. Soc. vol. VIII, pág. 351. 



