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ropi n — 1)k de las operaciones cuyos órdenes son divisores de/)™- 1 ; 

 es decir, que 



C5.(A») = p nk — p«*--\)k — pnh I [ \ 



1 V />*/ 

 Se puede seguir casi análogo razonamiento para determinar el 

 valor de la función »*(#), cuando g = II (_£."'). En este caso el 

 grupo G es el producto de los los i subgrupos //,, H,, H., 



cuyos órdenes respectivos son p"\ p._ n '\ p?í\ y cada uno de 



estos i subgrupos posee k generadores independientes de los órde- 

 nes p" 1 , p. 2 ni , p .*»', respectivamente, que son también gene- 

 radores independientes de G. En este grupo hay por lo tanto kxi 

 generadores independientes, y su orden es siempre potencia de 

 un cierto número primo: estos órdenes constituyen el máximo nú- 

 mero de invariantes de G. Una operación de orden g en G, está 



formada por factores tomados sucesivamente en H„ en H 2 , , 



en Hi, entre los que tienen el mayor orden posible en cada uno de 

 estos subgrupos, es decir, que sus órdenes son, ordenada y respec- 

 tivamente />,"', pi" 1 , . . . . , />."' 



Pero en H l el número de operaciones de orden />,"' está repre- 

 sentado por su orden disminuido en el orden del grupo cuyas in- 

 variantes san todas iguales á p¡ ni ~ ; en H„ el número de operacio- 

 nes de orden p i i está representado por su orden disminuido en el 



orden del grupo que tiene sus k invariantes iguales á p.,"' 2 ~ ; y así 

 en los demás. Luego 



» k (g) = ii [*&?)] = ii (pl ni ~ 1)k ). ii (/»/ - 1) = g k . ii (i - j-¡) . 



Evidentemente, para k = 1, esta relación coincide con la (d) 

 5. Sea 



la serie de los -¿(g) números primos con g y menores que g: en un 

 automorfismo del grupo G de orden g, los *(g) grupos deben co- 

 rresponderse recíprocamente. Un generador a. debe, pues, corres- 

 ponderse con una de sus potencias, por ejemplo, con a. k , siendo k 

 y g números primos entre sí. Un automorfismo de G puede obte- 

 nerse transformando todos sus elementos mediante uno de ellos (*); 



(*) FROUENIUS.— Berliner Sitzungsberichte, 1895, p. 184. 



