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fácilmente al siguiente caso más general. Llamemos *k{g) ó indi- 

 cador de orden k, el número de agrupaciones con repetición de 

 los números no mayores que g, tomados de k en k, de tal modo, 

 que los k números de cada agrupación y el número g sean primos 

 entre sí. Se tiene, si g = p, 



vJP) .= ¿>*-i = í*(i-¿); 



si g = p», 



y h (,p n ) =p( n - D* {p k - 1) = p nk (1 



y si g = II (p'p), 



1 



r A (á-) = n^(^) = ^ii(i-^ 



Sea, en efecto, k el número de generadores independientes del 

 grupo abeliano G de orden g, 



o | , o 2 , o 3 o. . 



toda operación S del grupo G, puede escribirse bajo la forma 



S = IlJS. n i) (n.= 1,2, g), 



y siempre que el máximo codivisor de los números g y n. sea la 

 unidad, g será el orden de S. Recíprocamente, si g es el orden de 

 la operación S, los números g y n. son primos entre sí. El número 

 de las operaciones de orden g en G, se corresponde, pues, con el 

 indicador t k (g) de orden k del número g. 



Cuando g no es potencia de un número primo, podemos en 

 virtud de (c) substituir un generador de orden g por dos genera- 

 radores independientes de órdenes respectivos B-, y 8- 2 , siendo 

 *i*2 — g) Y ^í y *2 números primos entre sí. Al descomponer así 

 en dos factores cada uno de los generadores independientes del 

 grupo G, consideramos este grupo como el producto directo de 

 dos subgrupos, tales que cada uno tiene k generadores indepen- 

 dientes de órdenes í>, y fr 2 respectivamente; y el número de opera- 

 ciones de orden más elevado en G, es igual al producto de los nú- 

 meros de operaciones de orden más elevado en aquellos dos sub- 

 grupos; es decir, que 



•^) = ?*(».) ?*(»■)• 



Sí g = p n , el número de operaciones de orden p n en G, es igual 

 al número total de sus operaciones p nh , disminuido en el núme- 



