y s¡ g = pn¡ p ¡ n i¡ siendo p i y p., números primos diferentes 



íte) = i(pr />,*') = fip:"> ■ #,*■) - />,'" (i - ¿). pr- (i - ¿ 

 - A -*-(.-i)(.-¿) : 



y, de un modo general, si # = II (P ; " ¿ ), 



? (#) = II [=p(A- B í)] = II (pP) . II (l - i), 

 ó sea 



»(£-) = #. II (i - ^-). (d) 



Sean ahora 1, <£,, d. 2 , d,„ , ,§-, todos los divisores del número 



g, orden del grupo G\ y sea S uno de sus generadores: las poten- 

 cias enésimas [n =1,2, — g) de S contienen, como es sabido rf, 

 operaciones cuyos órdenes son divisores de d¡, y que constituyen 

 el único subgrupo cíclico de orden d t que hay en G. En este grupo 

 hay por lo tanto -f (rf,) operaciones de orden d¡. Por la misma ra- 

 zón en G hay solamente » (rf s ) operaciones de orden rf 2 , que cons- 

 tituyen su subgrupo cíclico de orden d. 2 , y así de los demás. Así 

 resulta, por fin, que la totalidad de las operaciones de los diferen- 

 tes órdenes posibles en el grupo G, está expresada por el número 



*0) + *(<íi) + -fid,) + + *(¿ m ) + =?(#). 



Pero el valor de esta suma (*) es g {Teorema de Gauss); luego 

 la suma de los números que expresan cuántas son las operaciones 

 de cada uno de los órdenes posibles en el grupo G, coincide con 

 la suma de los indicadores de todos los divisores del orden g, de 

 dicho grupo, es decir, que es igual al mismo orden del grupo. 



Así, por ejemplo, si g = 15, cuyos divisores son 1, 3, 5 y 15; en 

 el grupo G de orden decimoquinto, habrá: 



?(]-)= 1 operación de primer orden, 

 ¿i 3 ) == 2 operaciones de tercer orden, 

 i.(5 ) = 4 operaciones de quinto orden, 

 y(15) = 8 operaciones de orden decimoquinto, 



y la totalidad de operaciones de los varios órdenes posibles es 



?(D + í(3) + ?(5) + »(15) =1+2 + 4 f- 8 = 15. 



4. El razonamiento que acabamos de hacer, puede extenderse 



(*) M. Marzal, loe cit. pág. 260.=Eulogio Jiménez, loe. cit. pág. 107 



