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Fermat g ener alisad o) 



x* = 1 (mód m)\ 



y si de la serie natural conservamos y referimos al módulo m, 

 únicamente los números primos con él, se forma un grupo cíclico 

 de orden tp(w). 



En el caso particular de que m = p n , siendo p primo, será 



'f(p") = p"- 1 (p — 1), y siendo x primo con p, 



/~ 1,!, -"=l(mód/.«); 



de modo que si el gausiano de x es r, será 



'í(p n ) = (mód r). 



También se puede repetir aquí el razonamiento hecho antes 

 para ver cuántos números tienen un gausiano dado. Los números 

 que respecto del módulo/)" pertenecen al exponente r, siendo r un 

 divisor de ;?(/>"), son raíces de la congruencia 



x r = 1 (mód p n ), 



las cuales, siendo ? uno de aquellos números, son á su vez, 1, p, 

 f, ? r_1 , incongruentes entre sí dos á dos respecto del módu- 

 lo p n . Para que una de estas raíces, por ejemplo, o?, pertenezca 

 al exponente r, es necesario y suficiente que ¡j sea primo con r, 

 luego el número ^(r) de los números cuyo gausiano es r, ó es 0, ó 

 es igual á ®{r). Mas por otra parte E <\{r) = -^(p n ), 1 -¿(r) = *(p n ), 

 entendiendo siempre que los símbolos sumatorios se extienden á 

 todos los divisores de ■¿<{p n ), luego debe ser siempre o(r) = ¿(r). 

 De donde se deduce que el grupo Q de los *(p n ) números menores 

 que y primos con p n es un grupo cíclico. 



Fácilmente podremos también deducir cual es el gausiano de 

 un número cuando p = 2: basta recordar que el grupo / de los 

 automorfismos de un grupo cíclico G de orden p n , siendo p un nú- 

 mero primo cualquiera, es de orden -¿(p n ); ya que se puede repre- 

 sentar / como un grupo regular de substituciones cuyos elementos 

 corresponden á las operaciones de G de orden más elevado; que, 

 por lo tanto, el orden de 1 es 2 n ~ l cuando p = 2, y en él está con- 

 tenido un subgrupo cíclico de orden 2» — m , {m^> 1), constituido por 

 todas aquellas operaciones que transforman en sí misma una ope- 

 ración de orden 2 m de G. Ahora, puesto que, cuando p = 2, el gru- 

 po / contiene, como es sabido, un subgrupo cíclico de orden 2 n ~- 

 y una operación de segundo orden que transforma cada operación 

 de G en su inversa, y puesto que en el subgrupo de orden 2 n ~ 2 

 cada operación de orden 2* es permutable con las operaciones de 

 orden 2 n ~ k de G, pero no con las de orden 2 n ~ k + 1 ; resulta que el 



