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 es, por hipótesis, una de ellas, dichas raíces son 



1 < r i r > r 5 r i 



que son todas incongruentes entre sí respecto del módulo p. Para 

 determinar el gausiano de cualquiera de estas raíces f, llame- 

 mos s al número más pequeño que verifique la relación 



( ? r) s = f» = \ (mód - py t 



para lo cual debe ser rs múltiplo de q, ya que ? pertenece al ex- 

 ponente q por hipótesis. Sea 3 el máximo codivisor de r y q, y 

 rq/o su mínimo comúltiplo, será s = q/% el menor número que cum- 

 pla la anterior condición, y f pertenece, por tanto (*), al expo- 

 nente q/o. Luego, para que su gausiano sea q, es necesario y sufi- 

 ciente que ryq sean primos entre sí; luego, de haber uno, hay ®(q) 

 números cuyo gausiano es q, representando con &(<?) el indicador 

 de Gauss, ó sea, el número de números primos con q y no mayo- 

 res que q. Por lo tanto, si llamamos 'l(q) el número de enteros me- 

 nores que p cuyo gausiano respecto del módulo p es el divisor q 

 de p — 1, ó será ty(q) = 0, ó bien ty[q) = ?(?)'■ Mas, evidentemente, 

 -'MíO — P — 1) supuesto extendido el símbolo sumatorio á todos 

 los divisores de p — 1; y como también -¿(^) = p — 1, resulta que 

 siempre ~\{q) = s(#). 



Así, por ejemplo, si el módulo es p = 13, basta buscar el gau- 

 siano de los doce primeros números de la serie natural, y como 

 los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, ó, 12; se ve (**) que hay: 



■¿( 1 ) = 1 números cuyo gausiano es 1 : el mismo 1 ; 



<p( 2 ) = 1 . . . 2: el número 12; 



s(3) = 2 3: el 3 y el 9; 



<p( 4 ) = 2 4: el 5 y el 8; 



=?( 6 ) = 2 6: el 4 y el 10; 



?(12) = 4 4: el 2, el 6, el 7 y el 11. 



Ahora, como dado un elemento 9- de orden m, sus potencias 

 sucesivas 



9-, » 2 , ¡I' 1 , H'" _1 , ¡t'" = 1, 



forman un grupo cíclico; podemos concluir que la serie de los nú- 

 meros enteros tomados con relación al módulo p, excluidos los 

 múltiplos del módulo, constituye un grupo cíclico de orden p — 1. 

 También, y de un modo más general, si el módulo m es un entero 

 cualquiera, existen ¿(//z) números menores que m y primos con ;;/, 

 tales que, siendo x uno cualquiera de ellos, se tiene (Teorema de 



!*) M. Marzal, loe- eit. pág 281.=EulOGIO .Jiménez, he. cit. pág. 190. 

 (**) Eulogio Jiménez, loe cit. pág 201. 



