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Puesto que, por la relación (a), existen potencias de 8- que son con- 

 gruentes con la unidad según el módulo p, sea (3 el primer expo- 

 nente que satisfaga la congruencia 



8-^ = 1 (mód/>). 



Todas las potencias de 8- que preceden á 8-", dan restos diferentes 



respecto del módulo p; porque siendo 



h k 



8- =r h (mód p), 8 = r. (mód p), 



dos de estas potencias, y h ^> k; si fuese r 1 = r , deberíamos con- 

 cluir que 



»*(»*-*_ i) = 0(mód/>), 



lo que no es posible, por ser * un número primo con p, y por 

 ser li — k <¡3. 



Los números de la serie {b), tomados respecto del módulo p, se 

 reproducen periódicamente, ya que de las dos relaciones 



&P = 1 (mód p), 8 A = r h (mód p), 



se deduce 



\)^ h = r h (módp). 



Las únicas potencias de fr que admiten como resto la unidad, 

 son evidentemente aquellas cuyo exponente es múltiplo de ¡3. Lue- 

 go, en virtud de la congruencia (a), se tienen — 1 = «¡3, siendo n 

 un número entero. 



Se suele decir que el número 8 pertenece al expolíente ¡3 res- 

 pecto del módulo p, es decir (*), que ¡3 es el menor exponente dife- 

 rente de cero, que satisface la congruencia 



frP = 1 (mód p). 



También se dice que ¡3 es el gausiano de 8 respecto del módu- 

 lo p A lo cual podemos añadir que el gausiano del número 8 res- 

 pecto del módulo p, es siempre un divisor de p — 1. 



2. Sea q un divisor de p — 1, y ? un número cuyo gausiano 

 sea q, respecto del módulo p: todos los números cuyo gausiano 

 es q, son raíces de la congruencia 



x 9 = 1 (mód^>), 



y el número de estas no puede ser mayor que q (**); mas, como = 



(*) Véase, por ejemplo: M. Marzal.— Calculatoria.— Barcelona, 1898, pág. 291.= 

 Eulogio Jiménez.— Teoría de los números.— Mem. de la R. A. de Ciencias de Madrid, 

 tomo VII, 1877, pag. 185. 



(**) GaUSS.— Disquisitiones arithmtlica.—lSOl, § 51 — EULOGIO JIMÉNEZ, loe. cit. p. 179. 



