- 8 



Relaciones entre la teoría de los números 



y la de los grupos de operaciones. 



1. Representaremos en esta nota con la letra p un númeio 

 primo impar, y con las notaciones II (m), II (r m ), , respectiva- 

 mente, los productos (1 . 2. 3 m), (r, . r. 2 . r 3 ;-„¡)> 



Se sabe que si » es un número natural cualquiera menor que p, 

 los elementos de la serie 



h - ; », 3a, (p- 1)¡), 



reproducen, respecto del módulo p, y prescindiendo del orden, los 

 números de la serie 



1, 2, 3, p-l; 



ya que si mft es un elemento de la primera serie, siendo ;// < p, 

 &<CP, rn§ es primo con p, y por tanto 



mft = r m (mód p) , 1 <s r m <¿l p — 1 , 



y si m'd- es otro elemento de la primera serie, se tiene de igual 

 modo, 



m'» = r m < (mód p), 1 ^ r m - -<tp — \\ 



pero r m y r m < deben ser diferentes, porque si fuesen iguales, sería 



(m — m) í) = (mód p), 



lo que no es posible. Luego, como habíamos dicho, los números 

 de ambas series coinciden, prescindiendo del orden. 



Multiplicando miembro á miembro las congruencias del sis- 

 tema 



utí=r u (mód p), (« = 1,2,3 p — 1), 



se halla 



II (p - 1) . ti 1 '" 1 = II ir v - x ) (mód p)\ 

 mas como, evidentemente," el producto 



II (p-l) = II(^-i), 



representa un número primo con p, se deduce (Teorema de Fer- 

 mat) 



Bp-i = 1 (móáp). (a) 



Formemos ahora la serie de las potencias sucesivas de S-, 



», ¡k-, a 3 » k , 8-*, (b) 



