- 4 — 



dos de un cuadrilátero inscriptible, por las (1), (5), (6) y (7) se ob- 

 tiene fácilmente 



1 l R 



a sen — a . sen — o 



2 2 a|' l + sen asen 6 

 (8).r=- -j , (9)R= — 



sen — (a -f- 6) 4 eos - a eos - S sen - (a -f 6) 



de las que inmediatamente resulta 



,' R ¡¿ 1+ sen a sen 5 



10 — = - 1 —, ¡3-. 



r- sen- a sen 2 o 



3. Consideremos las dos diagonales AC y BD, é indicando 

 con E el punto de intersección y con e\ /', e",f" los segmentos 

 AE, BE, CE, DE es fácil ver que se tiene (*) 



2 eos - a sen — S eos ■= (<* — 6) 



[11] sen J££> = sen A CD = ; — , 



l'l +sen ~. sen S 



1 + 2 o 



[12] eos ABD = eos ACD = 



II +sen a sen 6 



1 + 2 eos — a sen — 6 sen — (o 



a eos — a sen — b )' 1 -f- sen a sen 6 



[13] e' = 1 = 



sen - (a + 6) 



= 2R sen 8 eos 2 — a = r cot - a . | 1 -|- sen a sen S. 



Observación. De la (13) se obtiene 



e'-\- e"=2R sen 6, /'+/* = 2R sen a, c'e" = /'/", 



como debía verificarse. 



4. Si indicamos con P el centro del círculo circunscrito y con 

 O el del inscrito, y bajamos desde ellos la perpendicular sobre AB 

 cuyos pies sean M a y K a , tendremos 



OP 2 = {PMa — O Ka f + {AKa ~ AM a ) l , 



ó sea 



. ^'-(i/^l-'H'-f-i)' 



(*) Haciendo la permutación circular auteiücha en los segundos miembros, 

 los primeros son respectivamente f e" f". 



