Sobre el cuadrilátero plano inscriptible 



y circunscriptible á un círculo. 



I. Indicando con «, b, c, d los lados AB, BC, CD, DA y con 



a, ¡3, y, S los ángulos BAC, CBD, DCA y ADB (*) las fórmulas co- 

 nocidas que dan los senos de los semiángulos de un cuadrilátero 

 inscriptible, cuando sea también circunscriptible ó se tenga 



(1) a-\-c = b + d, 



darán (**) 



[2] sen — = eos •£ — 



ad -f bc ' 



de la que 



a 



sen - (a + 1 



: '-- = c °4=y^ y [4] — i— — =v^ 



eos - (a — 6) 



o 



Serán por consiguiente 



j eos 2 (« - 



a 



(5) 6 = a tg - a . — - , (6) c = a tg - tg - , 



sen gía + ^J 



(7) rf = a tg 



g eos - (a — 6) 



2 ' I 



sen - (a + 6) 



y estas relaciones dan el modo de expresar cualquiera función 

 de los cuatro lados por medio de uno de ellos y de los dos ángu- 

 los adyacentes, cuyos tres elementos determinan completamente 

 el cuadrilátero (***). 



2. Indicando con r y R los radios de los círculos inscrito y 

 circunscrito, y recordando sus expresiones en función de los la- 



(*) Se ruega al lector que dibuje la figura. 



(**) Cuando el número de orden de la fórmula esté en paréntesis cuadrado, se 

 deberá extender á los demás elementos, por permutación circular entre a, b,c,d y 

 y entre ,a ¡3, f, 3, teniendo en cuenta las conocidas relaciones entre estos. 



(***) La (6) y la (7) se pueden deducir de la (5) siguiendo primero la sustitución 

 indicada y sirviéndose después de la (5) misma. 



