desde los puntos principales q y p' proyectan cada par de puntos 

 m y m' de los planos SyS', proyecciones de uno mismo M, son 

 perspectivos, siendo su eje perspectivo el eje e". 



Análoga observación puede hacerse respecto de los haces de 

 vértices q' y p" que proyectan las figuras contenidas en los planos 

 •S' Y >S"i y 1° mismo acontece á los haces que proyectan las figu- 

 ras de los planos S" y-S, respectivamente, desde los puntos prin- 

 cipales q" y p 



Estas consideraciones nos permiten determinar una de las 

 proyecciones, la S", por ejemplo, de una figura cualquiera, dadas 

 las otras dos SyS'. Basta, para ello, unir la proyección m de 

 cada punto con el punto principal p y la ni' del mismo con el pun- 

 to q'\ los rayos de los haces q" y p" homólogos, respectivamente, 

 de los rayos pm y q'm', nos darán, por su intersección, la proyec- 

 ción buscada m". 



Dedúcese de aquí que para construir una tercera proyección 

 de una figura cualquiera, dadas otras dos, basta definir la proyec- 

 tividad entre cada par de haces de vértices q y p', q' y p" , q" y p 

 que llamaremos pares de puntos principales contrarios. 



Ya en un Trabajo anterior (1) estudiamos algunos de los modos 

 de definir esta relación proyectiva, geométrica y analíticamente: 

 vamos ahora á desarrollar una nueva solución de este problema 

 que allí indicamos ya, y consiste en tomar como homólogos en 

 cada par de haces de vértices contrarios, los rayos situados en 

 cada uno de los infinitos planos que contienen el lado del triángulo 

 00' O' 1 que pasa por aquéllos vértices. Esto equivale á la aplica- 

 ción del sistema de coordenadas que en Geometría Analítica se 

 conoce con el nombre de coordenadas proyectivas. 



Tomaremos como tetraedro de referencia el que tiene por vér- 

 tices los tres centros 6>, O' y O" y el vértice Fdel triedro formado 

 por los tres planos S, S' y S", y como punto fijo uno cualquiera ¿7, 

 cuyas tres proyecciones u, u' y n" son conocidas y distintas. Para 

 determinar un punto cualquiera M, bastará dar los valores de las 

 tres razones dobles 



O' O" . (VOMU) = P .; O" O . (VO'MU) = ¡j.', 00' ( VO"MU)=¿' 



pues con ellas podemos inmediatamente conocer los planos 0'0"M, 

 0"0M, 00' M que, por su intersección, nos dan el punto buscado M. 

 La proyección del punto M desde el centro O sobre el plano S 

 está en la recta OM, de intersección de los planos 00' M y 00" M\ 

 la proyección desde O' sobre S' está en la recta O'M, común á los 



0) Fundamento teórico de la Fototopografía. (Publicado en la «Revista de la 

 Real Academia de Ciencias de Madrid» —Tomo VI, núms. 5, 6, 7 y 8.— Nov. y Dic. 1907 

 y Enero y Febrero 1908). 



