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planos O'OMy 0'0"M, y la proyección desde O" sobre S", en la 

 recta O" M en que se cortan los planos 0"OM y 0"0'M. De aquí 

 deducimos que las proyecciones m y m' están ambas en el plano 

 00' M, las m! y m" en el 0'0"M y las m" y m en el 0"OM, como nos 

 habíamos propuesto para relacionar proyectivamente cada par 

 de haces contrarios. 



Podemos determinar los puntos m del plano S, en coordenadas 

 proyectivas, refiriéndolos al Vpq como triángulo de referencia y 

 como punto fijo ó unidad al u, proyección del U que antes elegi- 

 mos. Cada una de las coordenadas de m será la razón doble de 

 uno de los haces de rectas de vértices q y p, secciones respectiva- 

 mente, de los haces de planos de aristas 00' y 00" . Haciendo una 

 cosa análoga en los planos S' y S", podemos observar que, lla- 

 mando v y £, Z,' y i-', \" v" estas coordenadas, las correspondientes 

 á cada par de puntos principales contrarios q y p' , q y p", q" y p 

 son iguales como razones dobles del mismo haz de planos de aristas 

 00', O' O" y O" O, respectivamente; es decir, que v=v", £"=«', £'=£. 

 Dados, pues, los valores v, C = •£', ; de las razones dobles de los 

 haces que determinan, en cordenadas ti ¡angulares, los puntos 

 m y m', proyecciones de uno mismo M sobre los planos SyS' 

 desde los centros O y O', tenemos igualmente determinados los 

 haces p" . Vq"m"u" y q" . Vp"m"u", cuyos rayos p"m" y q"m" nos 

 dan el punto buscado m", proyección del mismo M desde el cen- 

 tro O" sobre el plano S" . 



La dificultad queda reducida á poder hallar cómodamente los 

 valores de estas razones dobles. 



Para hallar, por ejemplo, el valor de la razón doble del haz 



Fig 2." 



p . Vqmn, cuyos tres rayos pr, pq y pu son fijos para todos los pun- 

 tos m, podemos cortar este haz por una recta r paralela á un 



rayo, el pu por ejemplo, (Fig. 2. a ) con lo que la razón doble de 



q 

 que tratamos se reduce á una sencilla — , de la que basta medir 



uno de los términos, puesto que la'diferencia ¡3 — a es constante 

 como independiente de la posición del punto m. 



