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Normales á las superficies de V orden 



1. De un modo análogo á como en el número anterior de los 

 Anales estudiamos algunas propiedades de las normales trazadas 

 desde un punto á las cónicas, se pueden exponer varias propieda- 

 des de las normales á una cuádrica, propiedades en cuyo estudio 

 se distinguieron los geómetras allí citados, y que sirvieron otras 

 de ellas como tema en los concursos de examen. 



Las relaciones bomográficas de dos radiaciones, bien conoci- 

 das por los estudiantes de nuestras Facultades de Ciencias, con- 

 ducen en los primeros párrafos que siguen, á las propiedades 

 fundamentales, de las que, por sencillas relaciones analíticas, 

 resultan todas las demás que nos proponemos estudiar, combinan- 

 do de ese modo las Geometrías analítica y sintética, que de por 

 sí, independientemente, conducirían á los mismos resultados. 



Las consideraciones puramente sintéticas facilitan casi siem- 

 pre la labor, y al disminuir los artificios analíticos, tan molestos 

 cuando carecen de significación geométrica, simplifican la expo- 

 sición de las propiedades, dándoles mayor claridad y elegancia. 



2. Si desde un punto P, tr asamos las perpendiculares á loe 

 planos tangentes de una superficie de 2." orden, la radiación P 

 que resulta es homo gráfica con la radiación O de los diámetros 

 de la cuádrica, conjugados con dichos planos tangentes. 



En efecto, dichas dos radiaciones son respectivamente correla- 

 tivas con una radiación de planos paralelos á dichos planos tan- 

 gentes, y por lo tanto serán homográñcas entre sí. 



Si P no está situado en ningún eje de la cuádrica, esas radia- 

 ciones no tienen ninguna recta doble, pues la recta OP común 

 tiene por homologa en la radiación P, la perpendicular al plano 

 diametral conjugado con el diámetro OP, y en la radiación O el 

 diámetro conjugado con el plano perpendicular á OP. Y si P no 

 está en ningún plano principal, tampoco tendrán dichas radiacio- 

 nes ningún plano doble. 



En el caso de estar P en un eje ó plano diametral de la cuádri- 

 ca, ese eje ó plano son dobles en las radiaciones antedichas. 



3. En los puntos O y P, vértices de las dos radiaciones ho- 

 mográñcas, se cortan rayos correspondientes de las mismas. En 



