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 pada uno de los planos que pasan por OP existe un haz de rectas 

 de la radiación O, cuyo correspondiente en la P es el haz conteni- 

 do en el plano trazado por P perpendicularmente al diámetro 

 conjugado con aquel plano. El rayo del haz P común á ambos 

 planos, y su correspondiente del haz O nos determinarán un 

 punto. 



En cada uno de los planos que pasan por OP, hay pues, ade- 

 más de los puntos O y P, un punto de intersección de dos rayos 

 homólogos de las. radiaciones consideradas. Únicamente los pla- 

 nos determinados por OP y sus correspondientes en cada una de 

 las radiaciones, no contienen más puntos de intersección de rayos 

 homólogos que los O y P. 



Los dichos puntos comunes constituyen una cúbica alabeada, 

 pues si la intersección fuese una cónica, las radiaciones, que se- 

 rían homológicas, tendrían elementos dobles. Tampoco puede 

 haber un punto A fuera de la cúbica, porque el plano POA corta- 

 ría á dicha cúbica en otro punto B, y al plano OAB, determinado 

 por dos rayos de la radiación O, le correspondería el mismo pla- 

 no PAB, definido por los rayos homólogos de la radiación P. 



Proyectada esa cúbica desde los puntos O y P, obtendremos 

 dos superficies cónicas de segundo orden, bases de dos haces de 

 rectas radiados de segundo orden proyectivos. Estas dos superfi- 

 cies cónicas, se cortan á lo largo de la generatriz común OP, 

 además de efectuarlo según la cúbica antedicha que pasa por OyP. 



Los planos determinados por OP y sus rayos correspondientes 

 en ambas radiaciones, son tangentes á la cúbica en O y en P res- 

 pectivamente, y también lo son á las dichas superficies cónicas á 

 lo largo de OP. Dichos rayos homólogos de OP son las tangentes 

 á la cúbica en O y P, respectivamente. 



4. Si consideramos los rayos P correspondientes á tres direc- 

 ciones principales, los homólogos de O son paralelos á ellos, y 

 por consiguiente la curva considerada es una hipérbola cúbica, 

 cuyas asíntotas son tres direcciones principales de la cuádrica 

 considerada. 



Esta hipérbola cúbica determina, por su intersección con la 

 cuádrica, los pies en esta superficie de las seis normales reales ó 

 imaginarias que pueden trazarse á ella desde el punto P. Lue- 

 go: los pies de las seis normales trasadas desde un punto á 

 una cuádrica, están en una hipérbola cúbica, que pasa por el 

 punto dado, por el centro de la cuádrica, y tiene para asíntotas 

 tres direcciones principales de esta superficie. 



En los paraboloides, esa cúbica alabeada pasa por el punto del 

 infinito de los mismos, y por tanto las normales propiamente 

 tales, solo son cinco, pudiéndose tomar el diámetro que pasa 



