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por P como sexta normal, cuyo pie en la superficie es su punto 

 del infinito. 



La generación de la cúbica alabeada, como intersección de los 

 conos de segundo orden de vértices O y P, nos dice que: las nor- 

 males tr asadas desde un punto á una cuádrica, son generatrices 

 de un cono de segundo orden cuyo vértice es ese punto. (Teo- 

 rema de Chasles). 



Esa superficie cónica contiene además, al diámetro PO que 

 pasa por P, á la perpendicular trazada desde este punto á su pla- 

 no polar (recta correspondiente á la OP de la radiación (9), y á 

 las tres rectas trazadas por dicho punto P según las direcciones 

 principales de la cuádrica. 



5. De las propiedades de la hipérbola cúbica, que pasa por 

 los pies de las normales, ó de las del cono de segundo orden, que 

 las contiene en unión de las rectas antedichas, pueden deducirse 

 de un modo inmediato algunas de las propiedades de esas nor- 

 males. 



Así, por ejemplo: tres de las normales no están en un plano y 

 tampoco lo están dos normales y el diámetro que concurre con 

 ellas. Los pies de las normales no están de cuatro en cuatro en un 

 plano. Las relaciones anharmónicas de los planos que .proyectan 

 cuatro de las normales desde las otras dos-son iguales, é iguales 

 también á las de los cuatro planos que proyectan dichas normales 

 desde cualquiera de las generatrices del cono que las contiene. 



Si A, B, C, D, E, F, son los pies de las seis normales en la 

 cuádrica, como los haces de rectas radiados de segundo orden 

 que proyectan los puntos de una cúbica alabeada desde otros 

 dos son proyectivos, y también lo son entre sí y con los anteriores 

 los haces de planos de primer orden que proyectan los mismos 

 puntos de la cúbica desde sus cuerdas ó tangentes (*), se verifica- 

 rá que: las proyecciones ortogonales de los pies A, B, C, D, E, F 

 de las seis normales á una cuádrica, sobre los ejes ó planos prin- 

 cipales de la misma, constituyen figuras proyectivas. 



De esta propiedad de los pies de las normales á una cuádrica, 

 análoga á la que enunciamos para las normales de una cónica, 

 podrían deducirse varios lugares geométricos, según las condi- 

 ciones á que sometiésemos á dichas figuras proyectivas. 



6. Como las superficies de un haz de cuádricas homotéticas 

 y concéntricas tienen común la radiación de diámetros y planos 

 diametrales conjugados, las dos radiaciones homográficas gene- 

 ratrices de la hipérbola cúbica que contiene los pies de las nor- 

 males son las mismas, y por tanto: 



(*) Teoría geométrica de las lineas alabeadas y de las superficies desarrollares, por don 

 Eduardo Torroja, Madrid, 1904, p. 194. 



