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Si por un punto se trasan las normales á las superficies de 

 un has de cuádricas homotéticas y concéntricas, sus pies están 

 sobre una hipérbola cúbica, que pasa por aquel punto, por el 

 centro de las cuádricas y por los puntos del infinito de sus ejes. 

 Todas esas normales están en un mismo cono de segundo orden 

 cuyo vértice es el punto considerado. 



7. Las superficies cilindricas proyectantes de la cúbica ala- 

 beada que contiene los pies de las normales, sobre los planos 

 principales, son hiperbólicas y dan para proyección de esa cúbica 

 en cada plano dicho, la hipérbola de Apollonio de la sección prin- 

 cipal, correspondiente á la proyección del punto P, según resulta 

 de modo inmediato. 



Las superficies de segundo orden que pasan por los pies de las 

 seis normales trazadas desde P á la cuádrica considerada, por 

 tener seis puntos comunes, constituyen un complejo de cuádricas, 

 del que forman parte la cuádrica antedicha, los cilindros proyec- 

 tantes de la hipérbola cúbica, el cono de vértice P que proyeta 

 esta curva, y los pares de planos que contienen tres á tres los 

 pies de las normales. 



Ese complejo podemos considerarlo definido por la cuádrica á 

 que se han trazado las normales y por los tres cilindros proyec- 

 tantes de la hipérbola cúbica. Los ejes de aquélla determinan 

 evidentemente sobre estas cuatro superficies, tres á tres, puntos 

 de una involución, luego determinarán involuciones proyectivas 

 por su intersección con todas las superficies del complejo consi- 

 derado (*) . 



8. Si consideramos la superficie con centro 



x*- y' 2 s* 



s =-á> + h + ^- l = °> tu 



y el punto P (X, Y, Z), las dos radiaciones P y O generadoras de 

 la cúbica alabiada, tendrán por definición para ecuaciones res- 

 pectivas 



x = y_ = s_ a* (.y - X) = b* (y - Y) = c 2 (s - Z . 



/ m .n l m n 



de donde eliminando /, ;;/, u, se obtienen para ecuaciones de los 

 tres cilindros proyectantes de la cúbica las ecuaciones, 



S, = a-y {X - x) — b 2 x ( Y — y) = 



S., = b-B ( Y - y) - t' 2 v (Z - ,s) = }. 



S.j — c'-x (Z — s) — a-¿ {X — x) = 



(*) Vegas. M.— Tratado de Geometría analítica, t. II, p. 373.— Madrid, 1907. 



