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La del cono de segundo orden de vértice P, que contiene 

 las seis normales y las otras cinco rectas dichas (4), resulta tam- 

 bién sin más que expresar que pasa por estas últimas, y será 

 por tanto, 



a i (X—x)( Ys-Zy) + b\l / -y)(Zx-Xs)+c i (Z-s){Xy-Yx) =0. [3] 



La ecuación del complejo que contiene los pies de las seis nor- 

 males, es pues 



S + XS, + P .S. 2 + vS 3 = 0. : [4] 



Si los planos que pasan por los pies de tres normales, y por los 

 de las otras tres, tienen por ecuaciones, 



f + 7 + T + I = °. $&■% + ■? +- 1 -* Pi 



por constituir una superficie del complejo, los ejes determinarán 

 en ellos puntos conjugados de las involuciones que determinan 

 por su intersección con todas las superficies de la serie, y tendre- 

 mos por consiguiente 



pp' = — «'-, qq' = — b'\ rr' = — c 1 -. [6] 



9. Si llamamos con Laguerre centro del plano al punto de 

 coordenadas p, q, r, que viene á ser el inverso del polo de ese 

 plano respecto de la esfera imaginaria x° + J' 2 + s i -J- 1 = 3 te- 

 niendo en cuenta que si (a, 6, y) es el polo del primero de los pla- 

 nos [5] respecto de la cuádrica [1] serán 



_«! f _ _P _ _c^ 

 a ~~ p ' J ~ q ' T — r ' 



tendremos [7] 



a = p', 6 = q', y = •/-', 



y por tanto: el polo del plano determinado por los pies de tres de 

 las normales á una cuádrica, respecto de esta superficie, es el 

 centro, con relación d los ejes de la misma, del plano que pasa 

 por los pies de las otras tres normales (*). 



Si el polo del otro plano es (a', 6', y'), estas coordenadas serán 

 iguales á p, q, r, y por consiguiente, las relaciones [6] pueden 

 escribirse 



mí' = — a\ 66' = — & 2 , yy' = — c\ [8] 



y las de los dos planos [5] serán 



(*) Laguerre, Anuales Nouvelles de Mathématiques, 1878, estudia muchas propiedades 

 de los centros de esos planos. 



