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Puede advertirse, que cada uno de estos planos pasa por las 

 proyecciones sobre los ejes, del punto simétrico del polo del otro. 



10. Si identificamos los planos [9] con el complejo [4], teniendo 

 presente las relaciones [8] obtenemos las tres ecuaciones 



b 1 *- 



f 



n 2 6- 



b- 



— 



a l 



a?& 



+ 



&V 



a- 



— 



b 2 



fl 2 y í 



— 



c-o? 



Y , c-ar -f- «"Y" 



z 



6 ' c 1 — a ! 



r 



X . C-& 1 + b'Y 



z 



a. ' c- — b* 



' r 



a ~* b* - C"- 



Y 



■ T 



b* — 6 2 } [10] 



c - - í 



Esas tres ecuaciones, nos expresan las condiciones á que deben 



&x 6 v y '8 

 satisfacer las coordenadas del polo del plano — - + — + ——1=0, 



a- b- c- 



para que en la sección plana que determina este en la cuádrica 



existan tres puntos cuyas normales sean concurrentes. Dichas 



condiciones son en general incompatibles, porque el determinante 



X Y Z 



de las incógnitas — , -p-, — es nulo, luego no es posible, en gene- 



a b y 



ral, encontrar sobre una sección plana de una cuádrica tres pun- 

 tos cuyas normales sean concurrentes. Para que se realice esto 

 último es preciso que las ecuaciones anteriores sean indetermina- 

 das, ó que se tenga 



^^ >+W— i+^'f -«•>-«>. ["i 



Cuando el polo (a, S, y) del plano considerado esté en esta su- 

 perficie de cuarto orden, llamada por Desboves normo-polar, las 

 ecuaciones [10], en las que X, Y, Z se consideren como coordena- 

 das generales, representan una recta. Si desde cualquier punto de 

 esta recta, se trazan las normales á la superficie de segundo orden 

 dada, los puntos de incidencia de tres de ellas están en el plano 

 dicho, y los de las otras tres en el otro plano de polo 



a'= -—6'= -■ — '= — 



a. ' fj ' ' y ' 



11. Las relaciones [6] se prestan aún á otra nueva consecuen- 

 cia, pues en virtud de ellas tendremos 



4—^-4-1-0, 



pp qq rr 



lo cual nos quiere decir que: el plano que contiene los pies de tres 

 de las normales y el que pasa por los oíros tres, son conjugados 



