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respecto de otra superficie de segundo orden de los mismos ejes. 

 Si la cuádrica [1] fuese un elipsoide dichos dos planos serían 

 conjugados respecto de los tres hiperboloides ordinarios de los 

 mismos ejes y vértices; si aquella fuese un hiperboloide alabeado, 

 los planos serían conjugados respecto del elipsoide imaginario, ó 

 de los otros dos hiperloloides alabeados de iguales ejes y vértices. 

 Finalmente, si la cuádrica considerada fuese un hiperboloide ordi- 

 nario, serían conjugados los planos respecto del elipsoide ó de los 

 otros dos hiperboloides ordinarios de iguales ejes. 



12. Si tres de los normales PA, PB, PC constituyen un trie- 

 dro trirectángulo, el polo (a, 6, y) del plano ABC 



|+^+-+i=o 



p q r 



está en la esfera ortóptica ó de Monge, lugar de los vértices de 

 los triedros trirectángulos circunscritos al elipsoide, y por tanto 

 será 



a«+-'6*.+ r *- = tf + 6*4--c«, 



ó por virtud de las relaciones [7] 



p'* 4. q* _|_ ¡r'í = a 2 + ¥ A- c' l \ . [12] 



luego: si tres normales son perpendiculares dos á dos, el plano 

 que contiene los pies de las otras tres determina en los ejes del 

 elipsoide, las aristas de un paralelepípedo rectángulo de diago- 

 nal constantemente igual á |/a 2 -f- b a + c 2 . 

 Como además el segundo plano dicho DEF 



^ + ^ + 4 + i = o, 



p'-T g 1 T / T 



tiene para polo, según las relaciones [7], el punto (p, q, r), si desig- 

 namos en general por (x, y, s) este punto y tomamos en conside- 

 ración las relaciones [6] y [12], obtendremos 



|! + ^ + ^ = « s 4- &' + *', ]13] 



para ecuación de la superficie lugar del polo del plano que pasa 

 por los pies de las tres normales no perpendiculares. 



13. En el caso particular de estar el punto P en un plano 

 principal, por ejemplo en el xy, los cilindros [2] tienen para 

 ecuaciones 



a}y {X —x)-b*x(Y — y) = 



3 . [(b* - c*) y . - b*Y) =0 , [14] 



3 . [(a 1 — c-) x - a*X] = ! 



