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CUESTIONES RESUELTAS 



1. Demostrar la convergencia de la serie doble 



00 00 



V = 



_ y y {m + u)\ 



l 



L, L mi " („, + „)"+*' 



m=l n=l s i ' 



L. Orlando. 



Se sabe que la serie doble cuyo término general es \¡m ' n ' 

 es convergente. Basta, pues, para demostrar la convergencia de 

 la serie V, demostrar que para valores bastante grandes de m, n, 

 el término general de la serie propuesta es menor que el de esto- 

 tra serie. 



Consideremos, para ello, la razón de los términos generales de 

 ambas series 



/ i m ',1 5,1 



[m -+- n) ! m n 



nú ¡m + n) n - i ~ 



Si logramos probar que A tiende á cero cuando los dos núme- 

 ros m, n, crecen, simultánea é independientemente, más allá de 

 de todo límite; y que lo mismo sucede cuando uno solo de ellos 

 crece indefinidamente, aunque el otro permanezca infinito; habre- 

 mos conseguido con creces nuestro propósito. 



El número positivo A, puesto bajo la forma 



i \ / n ■. , 1s 1,1 5,1 



1 \ /, 2 \ /„ n — 1 \ m n 



A = \\ -,— 1 -—) 1 



m-\-nl y m-\-n¡ \* m + n) {m + rif ; ' 



se ve que no excede al número 



5=1 



o/ i \s 2 1,1 5,1 



2{m -\- n)\ m n 



{ni -f- rif 



porque B puede obtenerse de A, suprimiendo en éste algunos de 

 sus n — 1 primeros factores, todos menores que la unidad, y subs- 

 tituyendo los restantes por otros respectivamente mayores que 

 ellos. 



