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que comparada con la (2) demuestra la propiedad también cono- 

 cida de ser perpendiculares las dos rectas OCy SM (*). 



Se podría, pues, enunciar la cuestión, sin mencionar el centro 

 de curvatura. Haciéndolo así, es también aplicable á la circunfe- 

 rencia, en la cual según esto, se verifica que: el lugar de las pro- 

 yecciones del centro sobre todas las rectas SM obtenidas como 

 antes, es la curva de ecuación. 



(x' 2 -f- y-) (x- -p-jy 2 — a' 2 ) -f- a*x y 3 \x'-\-yf J = 0. 



Claro está que en este caso, corresponderá una curva á cada 

 uno de los infinitos sistemas de ejes de la circunferencia. 



/. Rey Pastor. 



5. Recurriendo al método de eliminación de Euler, demostrar 

 las condiciones necesarias para que las dos cúbicas 



i¡ (x) = a x 3 -\- b x- -\- c x -\- d = 



A (x) = a'x 3 + b'x- -\- c'x ~\- d' = , 



tengan dos raíces comunes. 



Pantón. 



Para que esto se verifique, es preciso y basta, que existan dos 

 factores lineales mx -\- n, m'x + n', tales que multiplicados res- 

 pectivamente por las dos formas dadas, den resultados idénticos. 



Esto es: 



am — am' = 



bm -\- an — b'm' — a'n' = 

 cm -f- bu — c'm' — b'n' = > (i), 



dm -\- en — d'm' — c'rí = 

 dn — d'rí = 



Para que este sistema de ecuaciones lineales y homogéneas 

 en m, ni' , «, rí , sea compatible, bastará que lo sean los formados 

 por tres de ellas y cada una de las otras dos. Como para cada uno 

 de estos sistemas de cuatro ecuaciones, la condición es que el de- 

 terminante de los coeficientes sea nulo, igualando á cero dos cua- 

 lesquiera de los cinco que se pueden formar, se tendrán las condi- 

 ciones á que deben satisfacer los coeficientes de las dos formas 

 para que tengan dos raíces comunes. 



Se puede, pues, dar diez pares equivalentes de condiciones. 



(*) Geometría analylique d deux dimensions.—M. G. de Longchampa. 1884. Paría, pág. 109. 



