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Por ser conmutativa la suma de dos vectores, podremos es- 

 cribir 



(a + b) + c = c + (a + b) == c + (b + a) 

 ó bien 



a -(-A + c = c + a + l» = c + l» + a; 



y del mismo modo podríamos escribirlos en un orden cualquiera. 

 Sucesivamente iríamos viendo lo mismo para cualquier número 

 de vectores, es decir, que en general: la suma de un número 

 cualquiera de vectores es conmutativa. 

 De igual modo será 



(a + b) + c = a + (b + c) = b + (a + c), 



Y lo mismo para cualquier número de vectores, ó sea que: la 

 suma de vectores es también asociativa. Por consiguiente, podrán 

 tomarse los sumandos en un orden cualquiera y substituir grupos 

 de sumandos por su suma. 



De la definición de la suma resulta inmediatamente que 



(B-A) + (C-B) + +(F-E) + (A.-F) = 0, 



esto es, que en todo polígono (plano ó no plano), la suma geomé- 

 trica de sus lados considerados como vectores es idénticamente 

 nula. 



Si consideramos tres vectores no coplanarios, se ve inmedia- 

 tamente que su suma es diagonal del paralelepípedo construido 

 sobre tres vectores coiniciales iguales á los sumandos (fig. 3. a ). 



5. Producto de un vector por un número. Vectores paralelos. 

 —Al tratar de multiplicar un vector por un número real, positivo 

 ó negativo, como éste número carece en cuanto tal de dirección, 

 solo habremos de atender á su valor y signo, que en la operación 

 afectarán respectivamente al módulo y sentido del vector. 



Se llama producto de un vector a por un número real m\ á 

 un vector de igual dirección que a, de sentido igual ó contrario, 

 según que m sea positivo ó negativo y de módulo igual á m por 

 mod a. La operación podremos indicarla en la forma ordinaria 

 por la igualdad 



a' = m a, 



la cual supone: dirección a' = dirección a; mod a' = m (mod a), 

 y sentido a' igual ó contrario al de a; según que m sea positivo 

 ó negativo. 



Resulta así que: el vector a/ mod será un vector de módulo 



