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nos dará todos los vectores coplanarios con #, /, cuando a, b to- 

 men todos los valores posibles. Finalmente, ai, bf, ck, sabemos 

 que nos definen los vectores contenidos en los ejes. 



Es de evidencia inmediata, en virtud de todo lo dicho hasta 

 aquí, que se podrá operar con las expresiones de los vectores 

 como con los vectores mismos. Por tanto si 



p = ai+bf-j- ck, p = a'i+b'g+ c'k 

 son dos vectores será 



P +p = (a + «') /+ (b + b')i+ (c + c') Ir; 

 y también para varios vectores, tendremos 



Del mismo modo 



mp = mal -{- mbj -\- mck; 



esto es: las coordenadas de un vector suma son la suma de las 

 coordenadas; y las del produelo de un vector por un número, el 

 producto de las coordenadas por ese número. 



Esta conclusión se suele también enunciar en la siguiente for- 

 ma: las proyecciones de la resultante, son sumas de las corres- 

 pondientes proyecciones de las componentes. Por tanto, si la 

 resultante es nula, lo han de ser necesariamente sus coordenadas, 

 y tendremos 



£« = 0, 16 = 0, Sc = 0; 



y recíprocamente si eso se verifica para tres ejes no coplanarios, 

 la resultante es evidentemente nula. 



Como la resultante ó suma de vectores forma con estos un po- 

 lígono, el teorema general de las proyecciones se enuncia tam- 

 bién diciendo que: la proyección de un contorno cerrado sobre un 

 eje es nula. Recíprocamente, si las proyecciones sobre tres ejes 

 no coplanarios son nulas, el contorno será cerrado. 



8. Consecuencias. Vectores coplanarios. Puntos en línea rec- 

 ta, ó pertenecientes á un plano.— -Si consideramos un vector h co- 

 planario con los i, / no nulos ni paralelos, los vectores de direc- 

 ción h tendrán por expresión, según hemos visto ai-\-bj, de 

 modo que 



li-\- mf + n h = 0, 



será la condición para que tres vectores no nulos ni paralelos 

 sean coplanarios, puesto que cada uno de los vectores /#, mf, n h 

 tomado con sentido contrario puede expresarse como suma de los 

 otros dos. Si se toman #, / como vectores axiales unitarios, las 



