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coordenadas del vector nh se ve que son — l, — m, y las del vec- 



. I m 



tor n serán , . 



n n 



Si los vectores #, y no son nulos ni paralelos, cuando tenga- 

 mos /#+ '«/ = , será necesariamente l = , m = ; pues //+ w / 

 representa el vector suma de los no nulos ni paralelos //, my, y 

 para que esta suma sea nula habrán de serlo los sumandos ó bien 

 sus módulos / y m. Por siguiente, l¡ + m i = 0, supone ó / = 0, 

 m = 0, ó que #, y son paralelos. 



Cuando sea 



li+mf = l'i + m'J, 



no siendo / , j nulos ni paralelos habrá de verificarse ¿ = /', 

 m = m', como consecuencia inmediata de lo antedicho. Si los tres 

 vectores coplanarios #, /, h ligados por la relación 



li+mi+nh = 0, 



son coiniciales y se verifica que l -\- m -\- n = , sus extremos 

 están en línea recta. 



En efecto, eliminando n será 



ni -h) + m(f-h)=0, 



y no siendo /, m nulos, habrán de ser de la misma dirección los 

 dos vectores i — h, f — h, que por tener común el extremo de h 

 estarán en la misma recta, demostrándonos el teorema. 



Ejemplos. — 1.° Si los lados opuestos de un cuadrilátero 

 ABCD son paralelos, dichos lados son también ¿guales. 



En efecto, tendremos 



(B - A) + (C-B) = (D-A) + (C B), 



pero {B-A) = m(C- D)y ( C—B)=n {D—A) por ser paralelos, luego 



m (C - B) + n (D - A) = (C — D) + (B - A), 



lo que exige m = 1, n — 1, según queríamos demostrar. 



2.° Bas diagonales de un paraleló gramo ABCD se bisecan 

 mutuamente. 



Llamemos E al punto de intersección de las diagonales, y se 

 verificará 



(B — A) + (E- B) = E~ A, 



{D-C) + (E-D)--=E-Q 



ó por ser B — A = — (B — C) obtendremos sumando 

 (E -B) + (E - B) = {E-A) + {E- C). 



