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Pero E - B = m(E — D) y E - A = n (E— C) por ser de las 

 mismas direcciones, luego 



(m + l)(E— £>) + («+ 1)(C- E) = Q, 



lo que exige m = — 1, n = — 1 por no ser E — D y C — E ni nu- 

 los ni paralelos. 



9. Si /, /, #rson tres vectores no paralelos, ni nulos, ni copla- 

 narios, ai-\- b j + ck sabemos que representa un vector no copla- 

 uario con dos de los anteriores, cuando a, b, c son distintos de 

 cero. Si consideramos un cuarto vector h se podrá expresar pues 

 en función de aquellos tres, y tendremos en general 



U+mJ+nk + ph = 0. 



Las cantidades escalares /, m, n, p, son en general no nulas 

 cuando los vectores dichos no están de tres en tres en un plano; y 

 uno cualquiera de los vectores li, mj, uk, ph podrá considerarse 

 como suma de los otros tres tomados con signos contrarios. Así 

 referido el vector ph á los vectores unitarios axiales #, /, Ir, sus 

 coordenadas serán — /, — m, n, y las del vector h serían 



/ m n 



P ' P' P ' 



Si l i -f m¡ -\-nk = 0, no siendo /, /, k ni paralelos, ni nulos, 

 ni coplanarios, será l = 0,m = Q,n = por la misma razón que 

 antes vimos. De igual modo cuando sea 



//+ »*/+ n k = l'i + m'j + «'k, 



será / = /', m — m', n = n' . 



Si cuatro vectores coiniciales no nulos ligados por la relación 



//+ mj+nto +ph = 0, 



son tales que l -f- m -\- n + p — 0, sus cuatro extremos son copla- 

 narios. Pues eliminando/) obtenemos 



l (f - h) + m (/- h) + n (k - h) = 0, 



lo cual, por no ser /, m, n nulos, nos prueba que los vectores i — h, 

 / — h, k — h son de la misma orientación, pero como tienen 

 común, el extremo de h estarán en plano, según queríamos de- 

 mostrar. 



10. Formaciones geométricas de primera especie. Baricen- 

 tros. — Vimos en otro lugar (2), lo que podía entenderse por suma 

 de un punto con un vector, que no es otra cosa que aplicar á ese 

 punto la translación representada por el vector. Con eso y la 



